1 . 已知圆与圆相外切，且与直线相切．
（1）记圆心的轨迹为曲线，求的方程；
（2）过点的两条直线与曲线分别相交于点和，线段和的中点分别为.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过定点．

2 . 已知椭圆，焦距为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若一直线与椭圆相交于、两点（、不是椭圆的顶点），以为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

3 . 已知椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线，与直线分别交于点，，求证：以线段为直径的圆过定点.

4 . 已知函数，函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
（3）证明：当时，.

5 . 设函数．
（1）若函数在处的切线与垂直，求的值；
（2）证明：当时，.

6 . 已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标．

7 . 已知函数，．
Ⅰ讨论函数在定义域上的单调性；
Ⅱ当时，求证：恒成立．

8 . 已知函数.
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）若f（x）有两个极值点，，证明：.

9 . 已知函数.
（1）若，求函数的所有零点；
（2）若，证明函数不存在的极值.

10 . 已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.