1 . 已知函数，函数满足．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个不同的零点、，证明：．

2 . 已知椭圆的标准方程为，椭圆上的点到其两焦点的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的上顶点，、为椭圆上不同于点的两点，且满足直线、的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标．

3 . 已知函数，其中a为正实数．
（1）若函数在处的切线斜率为2，求a的值；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．

4 . 已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，点P是C上任意一点，若面积的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C在第一象限的交点为M，直线与椭圆C交于A，B两点，连接，，与x轴分别交于P，Q两点，求证：始终为等腰三角形.

5 . 如图所示，抛物线上点到焦点的距离为4，是抛物线上的动点，过点的切线交轴于点，以为圆心的圆与直线及直线分别相切于､两点，且直线与轴的正半轴交于点.

（1）求证：；
（2）求的最小值.

6 . 已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．

7 . 已知椭圆的焦距为，连接其四个顶点构成的四边形的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线交C于两点，直线与的斜率互为相反数，证明：过定点.

8 . 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的动直线与抛物线交于两点，直线过点，且点关于直线的对称点．

（1）求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；
（2）过点且垂直于的直线交轴于点，，与抛物线的另一个交点分别为，记的面积为，的面积为，求的取值范围．

9 . 已知点F为抛物线C：（）的焦点，且F到准线l的距离为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为4，过点F作直线的垂线交准线l于点Q.证明：直线与抛物线C只有一个交点.

10 . 已知函数.其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当，求证：.