1 . 已知椭圆的长轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆右顶点，过点作斜率不为的直线与曲线交于两点，求证：.

2 . 已知函数，函数满足．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个不同的零点、，证明：．

3 . 已知椭圆的标准方程为，椭圆上的点到其两焦点的距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的上顶点，、为椭圆上不同于点的两点，且满足直线、的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标．

4 . 设抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段为直径的圆经过x轴上的两个定点．

5 . 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．

6 . 已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）若，求证．

7 . 已知椭圆的焦距为，连接其四个顶点构成的四边形的面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线交C于两点，直线与的斜率互为相反数，证明：过定点.

8 . 已知函数（且）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：对任意，恒成立．

9 . 已知，且.
（1）当时，求证：恒成立；
（2）令，当时，无零点，求的取值范围.

10 . 如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.

（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.