1 . 已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.
（1）求C的方程.
（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.

2 . 已知函数.
（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)有两个极值点x₁，x₂，求证.

3 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.

4 . 已知椭圆经过点，离心率为，A、B、C为椭圆上不同的三点，且满足，O为坐标原点．
（1）若直线与椭圆交于M，N两点，求；
（2）若直线AB、OC的斜率都存在，求证：为定值．

5 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称，证明直线过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．

7 . 过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点､，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.

（1）求椭圆的方程
（2）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（3）当点异于点时，求证：为定值.

8 . 已知函数.
（1）当时，证明：函数单调递增；
（2）当时，令，若，求实数的取值范围.

9 . 已知椭圆经过点，且两个焦点，的坐标依次为和．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设E，F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为，直线OF的斜率为，若，证明：直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．

10 . 已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.