1 . 如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

2 . 在直三棱柱中，、、、分别为中点，.

（1）求证：平面．
（2）求二面角的余弦值．

3 . 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.

（1）求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.

4 . 如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．

（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求二面角A-MA₁-N的正弦值．

5 . 已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求面积的最大值.

6 . 已知椭圆的离心率为，M是椭圆C的上顶点，，F2是椭圆C的焦点，的周长是6．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．

7 . 已知椭圆C：的离心率为，短轴长为．
求椭圆C的标准方程；
过椭圆C的左焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：原点O不在以MN为直径的圆上．

8 . 已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

9 . 已知四棱锥中，底面为菱形，，平面，、分别是、上的中点，直线与平面所成角的正弦值为，点在上移动.

（Ⅰ）证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；
（Ⅱ）求点恰为的中点时，二面角的余弦值.

10 . 在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为AD，PC的中点．

Ⅰ求证：平面BEF；
Ⅱ若，求二面角的余弦值．