名校
解题方法
1 . 如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，点
为
中点，
，平面
平面
.
平面
(2)求证：平面
平面；
(3)若
与平面所成的角为
，求平面
与平面
所成角的正弦值.
中，底面是直角梯形，点为中点，，平面平面.
平面(2)求证：平面
平面；(3)若
与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值.
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名校
解题方法
2 . 已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为
，左、右顶点分别为
，
.
(1)求
的方程；
(2)过右焦点
的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线
与
交于点
．
（i）证明：点在定直线上：
（ii）若直线
与
交于点
，求证：
．
，左、右顶点分别为，.(1)求
的方程；(2)过右焦点
的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线与交于点．（i）证明：点
在定直线上：（ii）若直线
与交于点，求证：．
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2024-04-17更新
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1203次组卷
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2卷引用：辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题
3 . 已知动圆过定点
且与直线
相切，记圆心的轨迹为曲线
．
(1)已知
、
两点的坐标分别为
、
，直线
、
的斜率分别为
、
，证明：
；
(2)若点
、
是轨迹上的两个动点且
，设线段
的中点为，圆与动点的轨迹
交于不同于
的三点
、
、，求证：
的重心的横坐标为定值．
过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知
、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点
、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．
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4 . 已知抛物线
，焦点为，点
在上，直线
∶
与相交于
两点，过分别向的准线
作垂线，垂足分别为
.
(1)设
的面积分别为
，求证：
；
(2)若直线
，
分别与相交于
，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标.
，焦点为，点在上，直线∶与相交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足分别为.(1)设
的面积分别为，求证：；(2)若直线
，分别与相交于，试证明以为直径的圆过定点，并求出点的坐标.
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5 . 如图所示，四边形为梯形，
，
，
，以为一条边作矩形
，且
，平面
平面．
；
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为
，它们的面积分别记为
和
，则
．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段
上存在点，使得
．请你对乙同学发现的结论进行证明．
为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
；(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
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2024高三·全国·专题练习
6 . 如图，在四棱锥
中，侧棱
平面BCDE，底面四边形BCDE是矩形，
，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．
(1)若
，求证：直线
平面
(2)若
，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角
的余弦值为
中，侧棱平面BCDE，底面四边形BCDE是矩形，，点P，M分别为棱AE，AC的中点，点F在棱BE上．(1)若
，求证：直线平面(2)若
，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．①平面ADE与平面ABC的交线为直线l，l与直线CF成角的余弦值为
②二面角
的余弦值为
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7 . 已知双曲线的方程为
，虚轴长为2，点
在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点
的直线与交于
两点，已知直线
和直线
的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点
的直线交双曲线于
两点，直线
与
轴的交点分别为，求证：的中点为定点.
的方程为，虚轴长为2，点在上.(1)求双曲线
的方程；(2)过原点
的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；(3)过点
的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.
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2024-03-03更新
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1606次组卷
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6卷引用：贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性考试数学试卷（一）
8 . 已知抛物线C：
，过点
的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为
，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为直线，，求证：
；
(2)证明：点M在定直线上；
(3)设线段AB的中点为N，求
的取值范围.
，过点的直线l交抛物线交于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.(1)设直线
，的斜率分别为直线，，求证：；(2)证明：点M在定直线上；
(3)设线段AB的中点为N，求
的取值范围.
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9 . 已知动圆经过定点
，且与圆
：
内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设
交直线
于点
，连接
交轨迹于点，直线
，
的斜率分别为
，
.
①求证：
为定值；
②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
经过定点，且与圆：内切.(1)求动圆圆心
的轨迹的方程；(2)设轨迹
与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：
为定值；②证明：直线
经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.
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2024-01-11更新
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630次组卷
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11卷引用：广东省梅州市2023届高三一模数学试题
解题方法
10 . 已知椭圆：
.
(1)若椭圆的离心率为
，直线
与椭圆交于，
两点，求证：
；
(2)为直线：
上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，
，
分别与椭圆交于，两点，证明
为定值，并求出此定值.
：.(1)若椭圆
的离心率为，直线与椭圆交于，两点，求证：；(2)
为直线：上的一个动点，，为椭圆的左、右顶点，，分别与椭圆交于，两点，证明为定值，并求出此定值.
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