1 . 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

2 . 已知椭圆的右焦点为，为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值．

3 . 如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．

（1）证明：面PAD面PCD；
（2）求AC与PB所成角的余弦值．

4 . 如图，已知直线OP₁，OP₂为双曲线E:的渐近线，△P₁OP₂的面积为 ，在双曲线E上存在点P为线段P₁P₂的一个三等分点，且双曲线E的离心率为.

（1）若P₁、P₂点的横坐标分别为x₁、x₂，则x₁、x₂之间满足怎样的关系？并证明你的结论；
（2）求双曲线E的方程；
（3）设双曲线E上的动点,两焦点 ,若为钝角,求 点横坐标的取值范围.

5 . 已知椭圆经过点,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、,点关于轴的对称点（与不重合）,则直线与轴是否交于一定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论；若不是,请说明理由.

6 . 定长为3的线段AB两端点A、B分别在轴，轴上滑动，M在线段AB上，且
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线交轨迹C于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

7 . 已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

8 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，圆：．

（1）设为圆上一点，满足，求点的坐标；
（2）若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为，证明：点到直线的距离为定值．

9 . 如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
   
(1)证明：；
(2)若为上的动点，与平面所成最大角的正弦值为，求二面角的余弦值.

10 . 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点，分别为,的中点，且，.

（1）证明：平面；
（2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的平面角余弦值的取值范围.