1 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为曲线与x轴的两个交点．
(1)求C的方程；
(2)点P是圆上的动点，过点P作C的两条切线，两条切线与圆O分别交于点A，B（异于P），证明：为定值．

2 . 已知椭圆过点，且离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)点在直线上，点关于轴的对称点为，直线、分别交椭圆于、两点（不同于点）.求证：直线过定点.

3 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，上顶点为，的周长为点，异于两点且在上，直线，，的斜率分别为，，，且
(1)证明为定值
(2)求点到直线距离的最大值．

4 . 如图所示，已知椭圆与直线．点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，、为切点，是坐标原点．

(1)若点为直线与轴的交点，求的面积；
(2)若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.

5 . 在平面直角坐标系xOy中，已知点（－，0），（，0），点M满足，记M的轨迹为C．以轨迹C与y轴正半轴交点T为圆心作圆，圆T与轨迹C在第一象限交于点A，在第二象限交于点B．
(1)求C的方程；
(2)求的最小值，并求出此时圆T的方程；
(3)设点P是轨迹C上异于A，B的一点，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，O为坐标原点，求证：为定值．

6 . 在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．

(1)求证：平面；
(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．

7 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值.

8 . 已知点、，平面直角坐标系上的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线.
(1)点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；
(2)已知点、是曲线上的两个动点，若（是坐标原点），试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程.

9 . 已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.
(1)求的方程；
(2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.

10 . 如图，直线与椭圆相交于两点，且的中点为；

(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于两点，求证：四点在同一个圆上．