1 . 设双曲线Γ:
，
，B，C在Γ上且直线
经过A.设
分别为Γ在B，C处的切线，点D满足
，则D的轨迹方程是___________ ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是_____ .(写出1个即可).
，，B，C在Γ上且直线经过A.设分别为Γ在B，C处的切线，点D满足，则D的轨迹方程是
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2 . 设
是正整数，整系数多项式
满足
．整系数多项式
，
，
满足
和
，其中
是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．
是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．
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3 . 设
.证明：若
是偶数，则n也是偶数.
.证明：若是偶数，则n也是偶数.
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4 . 求正整数
，使得
成立．
，使得成立．
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5 . 求最小的实数
，使得对任意的正整数，可以将其表示成2023个正整数之积，即
，且满足对任意的
，均有
是素数或者
．
，使得对任意的正整数，可以将其表示成2023个正整数之积，即，且满足对任意的，均有是素数或者．
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2023-12-15更新
|
147次组卷
|
2卷引用：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题
6 . 正整数
满足：
，则
的可能值有（ ）
| A．0个 | B．3个 | C．4个 | D．无穷多个 |
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7 . 
都为质数，整除
整除
，有多少组和
．
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8 . 已知2023可以拆分为几个正整数之和，所有整数中的最大值和最小值相差不超过1有多少种可能（ ）
| A．2024 | B．2023 | C．2022 | D．2021 |
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9 . 已知
，且
整除
，则
（ ）
| A．所有的和为14.5 | B．所有的和为15.5 |
| C．可能4组取值 | D．可能5组取值 |
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10 . 已知整数，满足
，方程
有整数根，满足这样条件的整数对
的个数为（ ）
，满足，方程有整数根，满足这样条件的整数对的个数为（ ）| A．0 | B．2个 | C．4个 | D．前三个答案都不对 |
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