1 . 如图所示，ABCD—A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

2 . 如图，已知直三棱柱的底面为正三角形，侧棱长都为4，､､分别在棱､､上，且，，，过，的中点M，N且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面.

（1）证明：中截面是梯形；
（2）若直线与平面所成的角为45°，求平面与平面所成锐二面角的大小.

3 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，平面，．点在侧棱上（端点除外），平面交于点．

（1）求证：四边形为直角梯形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

4 . 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，设为平面与平面的交线.

（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求证：平面平面；
（3）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.

5 . 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，点是的中点，过点作平行于平面的截面，与直线分别交于点.

（1）证明：.
（2）若四棱锥的体积为，求四边形的面积.

6 . 如图所示，已知正方体.

（1）线段AC上是否存在点O，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）求直线与平面所成角的大小.

7 . 如图，三棱柱中，面，，点，分别是线段，的中点.

（1）求证：面；
（2）设平面与平面的交线为，求证．

8 . 如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是______.

9 . 如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.

（1）若平面，证明：平面.
（2）求二面角的余弦值.

10 . 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，.为棱上一点，平面与棱交于点.

（1）求证：；
（2）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由.