解题方法
1 . 将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上,每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度,如下图,那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉下呢?这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、第n块,将前块铁块视为整体,若这部分的重心在第块的上方,且全部铁块整体的重心在桌面的上方,整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1,若记第n块比第块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为,则根据力学原理,可得,且为等差数列.(1)求的通项公式;
(2)记数列的前项和为.
①比较与的大小;
②对于无穷数列,如果存在常数,对任意的正数,总存在正整数,使得,,则称数列收敛于,也称数列的极限为,记为;反之,则称不收敛.请根据数列收敛的定义判断是否收敛?并据此回答“里拉斜塔”问题.
(2)记数列的前项和为.
①比较与的大小;
②对于无穷数列,如果存在常数,对任意的正数,总存在正整数,使得,,则称数列收敛于,也称数列的极限为,记为;反之,则称不收敛.请根据数列收敛的定义判断是否收敛?并据此回答“里拉斜塔”问题.
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2 . 高中教材必修第二册选学内容中指出:设复数对应复平面内的点,设,,则任何一个复数都可以表示成:的形式,这种形式叫做复数三角形式,其中是复数的模,称为复数的辐角,若,则称为复数的辐角主值,记为.复数有以下三角形式的运算法则:若,则:,特别地,如果,那么,这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题:
(1)求复数,的模和辐角主值(用表示);
(2)设,,若存在满足,那么这样的有多少个?
(3)求和:
(1)求复数,的模和辐角主值(用表示);
(2)设,,若存在满足,那么这样的有多少个?
(3)求和:
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2024-06-12更新
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165次组卷
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2卷引用:福建省安溪铭选中学2023-2024学年高一下学期6月份质量检测数学试题
名校
解题方法
3 . 现有5双鞋子,从中任取4只鞋子,则取出的4只鞋子中,恰好有1双的取法总数为__________ .
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2024-04-24更新
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948次组卷
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4卷引用:福建省德化第一中学2024-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
福建省德化第一中学2024-2024学年高二下学期第一次月考数学试题江苏省南通市2023-2024学年高二下学期3月质量监测数学试题江苏省清江中学、南通部分学校2023-2024学年高二下学期第一次调研(3月)数学试卷(已下线)6.2.3组合-6.2.4组合数——课时作业(提升版)
名校
解题方法
4 . 4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”,联合国将这天定为“联合国中文日”,以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献,旨在庆祝多种语言以及文化多样性,促进联合国六种官方语言平等使用.某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛,每位留学生随机抽取问题并依次作答,其中每个问题的回答相互独立.若答对一题记2分,答错一题记1分,已知甲留学生答对每个问题的概率为,答错的概率为.
(1)甲留学生随机抽取题,记总得分为,求的分布列与数学期望;
(2)(ⅰ)若甲留学生随机抽取道题,记总得分恰为分的概率为,求数列的前项和;
(ⅱ)记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为,求数列的通项公式.
(1)甲留学生随机抽取题,记总得分为,求的分布列与数学期望;
(2)(ⅰ)若甲留学生随机抽取道题,记总得分恰为分的概率为,求数列的前项和;
(ⅱ)记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为,求数列的通项公式.
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2024-04-11更新
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772次组卷
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2卷引用:福建省泉州第五中学2024届高三下学期适应性监测(一)数学试题
5 . 对甲、乙两组数据进行统计,获得以下散点图(左图为甲,右图为乙),下列结论不正确的是( )
A.甲、乙两组数据都呈线性相关 | B.乙组数据的相关程度比甲强 |
C.乙组数据的相关系数r比甲大 | D.乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1 |
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2024-03-24更新
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861次组卷
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10卷引用:福建省南安市蓝园高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
福建省南安市蓝园高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题河南省南阳地区2023-2024学年高二下学期3月阶段检测考试数学试题(已下线)8.1.1变量的相关关系+8.1.2样本相关系数 第一课 解透课本内容(已下线)模块五 专题1 全真基础模拟(北师大版本高二期中)(已下线)第八章 成对数据的统计分析总结 第一练 考点强化训练(已下线)8.1 成对数据的统计相关性——课后作业(提升版)(已下线)模块一 专题1 《线性回归与相关性和独立性检验》(北师大版高二期中)A基础卷(已下线)8.1 成对数据的统计相关性(4大题型)精讲-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)第八章:成对数据的统计分析章末重点题型复习(10题型)-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)专题06 统计模型的热点题型(7类题型)-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(江苏专用)
名校
6 . 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重(单位:克)与脉搏率(单位:心跳次数/分钟)的对应数据,根据生物学常识和散点图得出与近似满足(为参数).令,,计算得,,.由最小二乘法得经验回归方程为,则的值为___________ ;为判断拟合效果,通过经验回归方程求得预测值,若残差平方和,则决定系数___________ .(参考公式:决定系数)
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2024-03-21更新
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3378次组卷
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8卷引用:福建省泉州市安溪铭选中学2023-2024学年高二下学期6月份质量检测数学试题
福建省泉州市安溪铭选中学2023-2024学年高二下学期6月份质量检测数学试题广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试(一)数学试卷(已下线)第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(苏教版2019选择性必修第二册)(已下线)北师大版高二模块三专题1第2套小题进阶提升练湖南省长沙市第一中学2024届高三下学期高考适应性演练(二)数学试卷(已下线)8.2 一元线性回归模型及其应用(6大题型)精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)湖北省荆州市部分重点高中2024届高考适应性考试数学试题湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
名校
7 . 抛物线与椭圆有相同的焦点,分别是椭圆的上、下焦点,P是椭圆上的任一点,I是的内心,交y轴于M,且,点是抛物线上在第一象限的点,且在该点处的切线与x轴的交点为,若,则____________ .
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2024-02-27更新
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908次组卷
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5卷引用:福建省安溪第八中学2024届高三下学期5月份质量检测数学试题
8 . 一般地,元有序实数对称为维向量.对于两个维向量,定义:两点间距离,利用维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中,依据“距离”分类是一种常用的分类方法:计算向量与每个标准点的距离,与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试,得到业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值(分值代表要求度,1分最低,5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表:
对应聘者的能力报告进行四维距离计算,可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据,直接写出这组数据的第三四分位数;
(2)小刚与小明到该公司应聘,已知:只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
(i)小刚测试报告上的四种能力分值为,将这组数据看成四维向量中的一个点,将四种职业的分值要求看成样本点,分析小刚最适合哪个岗位;
(ii)小明已经被该公司招录,其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为,试求小明的各项能力分值.
岗位 | 业务能力分值 | 管理能力分值 | 计算机能力分值 | 沟通能力分值 | 合计分值 |
会计(1) | 2 | 1 | 5 | 4 | 12 |
业务员(2) | 5 | 2 | 3 | 5 | 15 |
后勤(3) | 2 | 3 | 5 | 3 | 13 |
管理员(4) | 4 | 5 | 4 | 4 | 17 |
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据,直接写出这组数据的第三四分位数;
(2)小刚与小明到该公司应聘,已知:只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
(i)小刚测试报告上的四种能力分值为,将这组数据看成四维向量中的一个点,将四种职业的分值要求看成样本点,分析小刚最适合哪个岗位;
(ii)小明已经被该公司招录,其测试报告经公司计算得到四种职业的推荐率分别为,试求小明的各项能力分值.
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2024-02-23更新
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1225次组卷
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4卷引用:福建省泉州市第七中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
福建省泉州市第七中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题浙江省L16联盟2023-2024学年高三下学期返校适应性测试数学试题(已下线)第1套 重组模拟卷(模块二 2月开学)单元测试B卷——第九章?统计
解题方法
9 . 教育部印发的《国家学生体质健康标准》,要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平,组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩在的男生有4人.高二男生成绩(单位:)如下:
(1)估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数;
(2)《国家学生体质健康标准》规定,高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为,高二男生为.已知该校高一年男生有600人,高二年男生有500人,完成下列列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关?
附:,其中.
10.2 | 12.8 | 6.4 | 6.6 | 14.3 | 8.3 | 16.8 | 15.9 | 9.7 | 17.5 |
18.6 | 18.3 | 19.4 | 23.0 | 19.7 | 20.5 | 24.9 | 20.5 | 25.1 | 17.5 |
(1)估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数;
(2)《国家学生体质健康标准》规定,高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为,高二男生为.已知该校高一年男生有600人,高二年男生有500人,完成下列列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关?
等级 年级 | 良好及以上 | 良好以下 | 合计 |
高一 | |||
高二 | |||
合计 |
0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
10 . 烧水时,水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为,加热后的温度函数(是常数,表示加热的时间,单位:min),加热到第10min时,水温的瞬时变化率是_________ .
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2023-12-23更新
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974次组卷
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9卷引用:福建省泉州市安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
福建省泉州市安溪蓝溪中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题海南省2024届高三上学期一轮复习调研考试(12月联考)数学试题贵州省黔东南苗族侗族自治州2024届高三12月统测(一模)数学试题陕西省西安市长安区教育片区2024届高三上学期模拟考试数学(理)试题上海市闵行区七宝中学2024届高三上学期期末数学试题(已下线)专题10 导数12种常见考法归类(1)(已下线)第六章:导数及其应用(单元测试)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(人教B版2019选择性必修第三册)(已下线)2.5 简单复合函数的求导法则4种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(北师大版2019选择性必修第二册)山东省威海市乳山市银滩高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题