1 . 已知曲线.
(1)证明：；
(2)若曲线关于直线对称的曲线为，则称为与的一条对称轴.请写出与的一条对称轴，并探究是否存在其它的对称轴；
(3)已知是上的两点，是上的两点，若四边形为正方形，其周长为，证明：.（参考数据：）

2 . 已知正整数满足，正整数满足，.对于确定的正整数，记的最小值为.例如：当时，或或.
(1)当时，写出的所有值及的值；
(2)探究的值；
(3)证明：.

3 . 某校在开展“弘扬中华传统文化，深植文化自信之根”主题教育的系列活动中，举办了“诵读国学经典，传承中华文明”知识竞赛．赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年和高二年学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（       ）

A．高一年抽测成绩的众数为75

B．高二年抽测成绩低于60分的比率为

C．估计高一年学生成绩的平均分低于高二年学生成绩的平均分

D．估计高一年学生成绩的中位数低于高二年学生成绩的中位数

4 . 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（       ）

A．

B．当时，

C．面积的最大值为

D．游览路线最长为

5 . 围棋在中国古时称"弈"，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成．则围棋棋盘上的矩形数量为_____________．（用数字作答）

6 . 近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一，为了引导青少年正确消费，国家市场监管总局提出，盲盒经营行为应规范指引，经营者不能变相诱导消费，盲盒最吸引人的地方，是因为盒子上没有标注，只有打开才会知道自己买到了什么，这种不确定性的背后就是概率，现有玩具店推出四种款式不同、单价相同的盲盒（这四款分别是草莓熊、三丽鸥、蛋仔、卡皮巴拉），每款数量足够多，购买规则及概率规定如下:每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.
(1)现小明欲到玩具店购买盲盒，设他首次买到草莓熊这款盲盒时所需要的购买次数为，证明:;
(2)设首次出现连续次购买到草莓熊这款盲盒时所需的试验次数期望为，
（i）求;
（ii）求.
提示:求的方式:先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
参考公式:

7 . 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
(1)写出复数的三角形式；
(2)阅读材料：
数学家布鲁克·泰勒提出利用多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线的泰勒公式，在近似计算、函数拟合和计算机科学上有着举足轻重的作用．如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，其中，读作的阶乘．
数学家莱昂哈德·欧拉在泰勒公式的灵感下，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起创造了欧拉公式：，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．
数学家棣莫弗发现，则．特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理，该定理为概率论的发展做出重要的贡献．
①利用泰勒展开式求的近似值（精确到0.001）；
②设，求集合的元素个数．

8 . “泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心"于2021年7月25日成功列入《世界遗产名录》，成为中国第56处世界遗产，泉州在持续做好世界遗产保护的同时，积极推动文化和旅游的深度融合，在2024年“五一”假期期间，为了解全国各地游客对泉州某景点的满意度，景区在该景点向游客做随机问卷调查，收集了1000份问卷，并统计每份问卷的得分（百分制），绘制了如下频率分布直方图：

(1)求a；
(2)估计该满意度得分的第一四分位数和总体平均数；
(3)已知填写问卷的游客中，儿童、中青年人、老年人的比例为1∶7∶2，其中儿童游客满意度得分的平均数为86，方差为45.15；老年人游客满意度得分的平均数为96，方差为10.55．请结合频率分布直方图，估计中青年游客对该景点满意度得分的平均数和方差．

9 . 若函数，则（       ）

A．若，则既是奇函数，也是偶函数

B．若为奇函数，则

C．若，则存在两个不同的零点

D．若的定义域为R，则

10 . 已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（       ）

X	Y		合计
	100	a	d
	200	b	e
合计	300	c	n

A．

B．

C．

D．