名校
1 . 设函数
定义域为
．若整数
满足
，则称
与
“相关”于
．
(1)设
，
，写出所有与
“相关”于的整数；
(2)设满足：任取不同的整数
，与均“相关”于．求证：存在整数
，使得
都与
“相关”于；
(3)是否存在实数
，使得函数
，满足：存在
，能使所有与
“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出
和
的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由．
定义域为．若整数满足，则称与“相关”于．(1)设
，，写出所有与“相关”于的整数；(2)设
满足：任取不同的整数，与均“相关”于．求证：存在整数，使得都与“相关”于；(3)是否存在实数
，使得函数，满足：存在，能使所有与“相关”于的非零整数组成一个非空有限集？若这样的存在，指出和的大小关系（无需证明），并求出的取值范围；若这样的不存在，说明理由．
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名校
2 . （1）在用“五点法”作出函数
的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
（2）设实数
且
，求证：
；（可以使用公式：
）
（3）证明：等式
对任意实数
恒成立的充要条件是
的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
| 0 | ||||
| 0 | ||||
| 1 |
且，求证：；（可以使用公式：）（3）证明：等式
对任意实数恒成立的充要条件是
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解题方法
3 . 已知椭圆
：
（
）的离心率为
，它的上顶点为
，左、右焦点分别为
，
（常数
），直线
，
分别交椭圆于点
，
．
为坐标原点．
(1)求证：直线
平分线段
；
(2)如图，设椭圆外一点
在直线上，点的横坐标为常数
（
），过的动直线
与椭圆交于两个不同点
、
，在线段
上取点
，满足
，试证明点在直线
上．
：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点．(1)求证：直线
平分线段；(2)如图，设椭圆
外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上．
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解题方法
4 . 
个正数排成
行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数
的等比数列.
已知
，
，
.
（1）设
，求数列
的通项公式；
（2）设
，求证：
(
)；
（3）设
，请用数学归纳法证明：
.
个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.已知
，，.（1）设
，求数列的通项公式；（2）设
，求证：()；（3）设
，请用数学归纳法证明：.
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2021-01-15更新
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198次组卷
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3卷引用：上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题
上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）课时23 数学归纳法及其应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）2023版 苏教版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十二单元 数学归纳法
5 . 记
到点
与直线：
的“有向距离”．
（1）分别求点
与
到直线：
的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．
（2）求证：到两条相交定直线
（，
不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．
（3）利用上述（2）结论证明：曲线
为双曲线，并求其虚轴长．
到点与直线：的“有向距离”．（1）分别求点
与到直线：的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．（2）求证：到两条相交定直线
（，不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．（3）利用上述（2）结论证明：曲线
为双曲线，并求其虚轴长．
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6 . 若函数
对任意的
，均有
，则称函数具有性质．
（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①
；②
．
（2）若函数具有性质，且
，求证：对任意
有
；
（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
对任意的，均有，则称函数具有性质．（1）判断下面两个函数是否具有性质
，并说明理由．①；②．（2）若函数
具有性质，且，求证：对任意有；（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
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2020-05-08更新
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975次组卷
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6卷引用：2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟（4月）数学试题
2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟（4月）数学试题（已下线）2011届北京市西城区高三二模试卷数学（文科）（已下线）重难点12 选考系列（参数方程与不等式）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）北京市首师大附2017-2018学年高三十月月考数学（文）试题（已下线）第四章 指数函数与对数函数单元检测卷（能力挑战）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）北京市第八十中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
解题方法
7 . 已知双曲线
，经过点
的直线与该双曲线交于
两点.
（1）若与轴垂直，且
，求的值；
（2）若
，且的横坐标之和为
，证明：
.
（3）设直线与
轴交于点
，求证：
为定值.
，经过点的直线与该双曲线交于两点.（1）若
与轴垂直，且，求的值；（2）若
，且的横坐标之和为，证明：.（3）设直线
与轴交于点，求证：为定值.
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2020-05-20更新
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508次组卷
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5卷引用：2020届上海杨浦区高三二模数学试题
2020届上海杨浦区高三二模数学试题（已下线）热点04 平面向量、复数-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）上海市致远高中2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题上海市同济大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学试题西藏拉萨市部分学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（理科）
8 . 已知抛物线Γ的准线方程为
.焦点为
.
（1）求证：抛物线Γ上任意一点的坐标
都满足方程：
（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于
两点，求线段
的中点的轨迹方程.
.焦点为.（1）求证：抛物线Γ上任意一点
的坐标都满足方程：（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于
轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程.
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2019-12-31更新
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350次组卷
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2卷引用：2020届上海市静安区高三一模（期末）数学试题
9 . 现定义：设是非零实常数，若对于任意的
，都有
，则称函数
为“关于的偶型函数”
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间
上单调递增，求证在区间
上单调递减
（3）设定义域为
的“关于
的偶型函数”是奇函数，若
，请猜测
的值，并用数学归纳法证明你的结论
是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的
偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减（3）设定义域为
的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论
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2019-12-31更新
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333次组卷
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5卷引用：2020届上海市静安区高三一模（期末）数学试题
2020届上海市静安区高三一模（期末）数学试题上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题（已下线）热点02 函数及其性质-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）第四章++数列1（基础过关）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）第二章 推理与证明（基础过关）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教版选修2-2）
10 . 如图，在棱长为1的正方体
中，点E是棱AB上的动点.
（1）求证：
；
（2）若直线
与平面
所成的角是45
，请你确定点E的位置，并证明你的结论.
中，点E是棱AB上的动点.（1）求证：
；（2）若直线
与平面所成的角是45，请你确定点E的位置，并证明你的结论.
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