1 . 数列
的前n项和为
，若数列与函数
满足：①的定义域为
；②数列与函数均单调增；③存在正整数
，使
成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ）
①与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；
②与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
的前n项和为，若数列与函数满足：①的定义域为；②数列与函数均单调增；③存在正整数，使成立，则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题：（ ）①与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；②与数列
具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.| A．①②都是真命题 | B．①是真命题，②是假命题 |
| C．①是假命题，②是真命题 | D．①②都是假命题 |
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真题
解题方法
2 . 已知双曲线
左右顶点分别为
，过点
的直线
交双曲线
于
两点.
(1)若离心率
时，求
的值．
(2)若
为等腰三角形时，且点
在第一象限，求点的坐标．
(3)连接
并延长，交双曲线于点
，若
，求的取值范围．
左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.(1)若离心率
时，求的值．(2)若
为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．(3)连接
并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．
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3 . 设正数
不全相等，
，函数
．关于说法
①对任意
都为偶函数，
②对任意在
上严格单调递增，
以下判断正确的是（ ）
不全相等，，函数．关于说法①对任意
都为偶函数，②对任意
在上严格单调递增，以下判断正确的是（ ）
| A．①、②都正确 | B．①正确、②错误 | C．①错误、②正确 | D．①、②都错误 |
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解题方法
4 . 已知点
在双曲线
的一条渐近线上，
为双曲线的左、右焦点且
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；
(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点
，求证：
.
在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.(1)求双曲线
的方程；(2)过点
的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；(3)过点
的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.
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5 . 已知函数
具有以下的性质：对于任意实数
和，都有
，则以下选项中，不可能是
值的是（ ）
具有以下的性质：对于任意实数和，都有，则以下选项中，不可能是值的是（ ）A． | B． | C．0 | D．1 |
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解题方法
6 . 已知为实数集
的非空子集，若存在函数
且满足如下条件：①定义域为
时，值域为
；②对任意
，
，均有
. 则称
是集合到集合的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间
到区间
的一个完美对应；
(2)求证：整数集
到有理数集
之间不存在完美对应；
(3)若
，
，且是某区间到区间
的一个完美对应，求
的取值范围.
为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”.(1)用初等函数构造区间
到区间的一个完美对应；(2)求证：整数集
到有理数集之间不存在完美对应；(3)若
，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围.
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解题方法
7 . 已知正方体
和点，有两个命题：
命题甲：存在
条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；
命题乙：存在个过点的平面
，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；
则下列判断正确的是（ ）
和点，有两个命题：命题甲：存在
条过点的直线，满足与正方体的每条棱所成角都相等；命题乙：存在
个过点的平面，满足与正方体的每个面所成锐二面角都相等；则下列判断正确的是（ ）
A． | B． |
C． | D． 的大小关系与点的位置有关 |
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8 . 阿基米德（公元前287年—公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆
的面积等于
，且椭圆
的焦距为
.点
、
分别为
轴、
轴上的定点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点为椭圆上的动点，求三角形
面积的最小值，并求此时点坐标；
(3)直线与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为
，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点.(1)求椭圆
的标准方程；(2)点
为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；(3)直线
与椭圆交于不同的两点A、B，已知关于轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为，已知P、M、N三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
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解题方法
9 . 设定义域为
的函数在上可导，导函数为
.若区间
及实数
满足：
对任意
成立，则称函数为上的“
函数”.
(1)判断
是否为
上的
函数，说明理由；
(2)若实数满足：
为
上的函数，求的取值范围；
(3)已知函数存在最大值．对于：：对任意
与
恒成立，
：对任意正整数
都是上的
函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.
的函数在上可导，导函数为.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”.(1)判断
是否为上的函数，说明理由；(2)若实数
满足：为上的函数，求的取值范围；(3)已知函数
存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论.
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解题方法
10 . 已知数列不是常数列，前项和为，且
．若对任意正整数，存在正整数，使得
，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（ ）
不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（ ）| A．①与②均为真命题 | B．①与②均为假命题 |
| C．①为真命题，②为假命题 | D．①为假命题，②为真命题 |
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