1 . 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
(2)记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．

2 . 假设市四月的天气情况有晴天，雨天，阴天三种，第二天的天气情况只取决于前一天的天气情况，与再之前的天气无关.若前一天为晴天，则第二天下雨的概率为，阴天的概率为；若前一天为下雨，则第二天晴天的概率为，阴天的概率为；若前一天为阴天，则第二天晴天的概率为，下雨的概率为；已知市4月第1天的天气情况为下雨.
(1)求市4月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记为市四月第天的天气情况为晴天的概率，
（i）求出的通项公式；
（ii）市某花卉种植基地计划在四月根据天气情况种植向日葵，为了更好地促进向日葵种子的发芽和生长，要求提前3天对种子进行特殊处理，并尽可能地选择在晴天种植.如果你是该花卉种植基地的气象顾问，根据上述计算结果，请你对该基地的种植计划提出建议.

3 . 若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.

4 . 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为，，，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为，，，则（       ）
       

A．	B．
C．	D．

5 . 已知曲线上的点满足.
(1)化简曲线的方程；
(2)已知点，点，过点的直线（斜率存在）与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，证明：三点在同一圆上.

6 . 已知曲线：，，，为上异于，的一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（       ）

A．存在两个定点，使得到这两个定点的距离之和为定值

B．直线与直线的斜率之差的最小值为

C．的最小值为

D．当直线的斜率大于时，大于

7 . 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的边分别在轴和轴上，.点从点开始沿边匀速移动，点从点开始沿边匀速移动，点，点同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为秒.
   
(1)连接矩形的对角线，当为何值时，以为顶点的三角形与相似；
(2)在点，点运动过程中，线段的中点也随着运动，请求出的最小值；
(3)将沿所在直线翻折后得到，试判断点能否在对角线上，如果能，求出此时的值，如果不能，请说明理由.

8 . 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是.
其中，正确结论的个数是（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

9 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于､两点，抛物线经过两点，与轴的另一交点为.
   
(1)求抛物线解析式；
(2)若点为轴下方抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积等于面积的.求此时点的坐标；
(3)如图2，以为圆心，2为半径的与轴交于､两点（在右侧），若点是上一动点，连接，以为腰作等腰，使（､､三点为逆时针顺序），连接，求长度的取值范围.

10 . 下列四个命题中正确的是（       ）

A．由所确定的实数集合为

B．同时满足的整数解的集合为

C．集合可以化简为

D．中含有三个元素