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1 . 已知函数
和
，则下列说法正确的有（ ）
和，则下列说法正确的有（ ）A．若 有两个相同的实数根，则函数 经过一二四象限 |
B． 的图象和一个以 为圆心，1为半径的圆没有交点 |
C．可以在 时取到最小值 |
D．若 有两个不同零点，设这两个零点分别为 、 （在的左边）在 时，若的最小值等于，则 是不可能成立的 |
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2024-08-07更新
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135次组卷
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2卷引用：2024年第四届英才杯数学竞赛试题
解题方法
2 . 交比是射影几何中最基本的不变量，在欧式几何中亦有应用.设
是直线
上互异且非无穷远的四点，称
（分式中各项均为有向线段，如
）为的交比，记为
．
(1)求证：
；
(2)若
为平面上过
且互异的四条直线，
为不过点且互异的两条直线，
与的交点分别为
，
与的交点分别为
，证明：
.
是直线上互异且非无穷远的四点，称（分式中各项均为有向线段，如）为的交比，记为．(1)求证：
；(2)若
为平面上过且互异的四条直线，为不过点且互异的两条直线，与的交点分别为，与的交点分别为，证明：.
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解题方法
3 . 已知函数
，若
，使关于
的不等式
成立，则实数
的取值范围是______ ．
，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是
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4 . 九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家用于数学研究的课堂和例子.现假设有
个圆环，用
表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列
满足下列条件：
，
，记的前项和为
，则
______ ；
______ ．
个圆环，用表示某种规则下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，记的前项和为，则
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5 . 点
在圆
上，若
，
，则
的最大值为______ .
在圆上，若，，则的最大值为
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6 . 若函数
与坐标轴有三个交点
、
、
，且
的外心在
上，则
___________ ；
与坐标轴有三个交点、、，且的外心在上，则
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7 . 已知
为等差数列，
为等比数列，
(1)求和的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：
(3)对任意的正整数，设
，求数列
的前
项和．
为等差数列，为等比数列，(1)求
和的通项公式；(2)记
的前项和为，求证：(3)对任意的正整数
，设，求数列的前项和．
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解题方法
8 . 已知数列 满足:
，
，
.求证:
.
满足:，，.求证:.
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解题方法
9 . 已知函数
，则（ ）
，则（ ）| A．的最小值为8 | B．的最小值为9 |
C． 有1个实根 | D． 有1个实根 |
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10 . 设函数 
，若关于
的方程 
在 
上有奇数个不同的实数解，则实数
的值为___________________ .
，若关于的方程 在 上有奇数个不同的实数解，则实数的值为
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