1 . 已知，若恒成立，则实数a的取值范围是______．

2 . 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

3 . 已知函数.
(1)当时，试写出函数的单调递增区间；
(2)若函数在上的最小值是，求的值

4 . 已知函数.
(1)若，求的最小值；
(2)若恒成立，求a的取值范围.

5 . 下列说法正确的有（       ）

A．若，则的最大值是

B．若都是正数，且，则的最小值是3

C．若，则的最小值是2

D．若，则的最小值是4

6 . 已知函数．
(1)讨论函数的零点的个数；
(2)若有两个不同的零点、，证明：．

7 . 已知函数.
(1)若是的极值点，求的单调区间；
(2)若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围.

8 . 设函数，，其中，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若不等式在时恒成立，求的取值范围．

9 . 对于函数，，下列说法正确的是（       ）

A．函数的图象关于点中心对称

B．函数有极值的充要条件是

C．若函数有两个极值点，，则

D．若，则过点作曲线的切线有且仅有2条

10 . 如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.