1 . 中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为
，
，
，则（ ）
，，，则（ ）
A． | B． |
C． | D． |
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真题
2 . 已知集合
．给定数列
，和序列
，其中
，对数列
进行如下变换：将的第
项均加1，其余项不变，得到的数列记作
；将的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出；
(2)是否存在序列
，使得为
，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“
”．
．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列
和序列，写出；(2)是否存在序列
，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列
的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
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3 . 约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（
）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为
，
，⋯
，
，（
）．
(1)当
时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；
(2)当
时，若
，
，⋯
构成等比数列，求正整数a．
(3)当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，
，
，⋯，
是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a有k个正约数，即为
，，⋯，，（）．(1)当
时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；(2)当
时，若，，⋯构成等比数列，求正整数a．(3)当
时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，，⋯，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
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名校
4 . 已知
在
处的切线方程为
．
(1)求实数
的值；
(2)证明：
仅有一个极值点
，且
．
(3)若
，是否存在
使得
恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由．
在处的切线方程为．(1)求实数
的值；(2)证明：
仅有一个极值点，且．(3)若
，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由．
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5 . 已知函数
，给出下列四个结论：
①当
时，对任意
，有1个极值点；
②当
时，存在，使得存在极值点；
③当
时，对任意
，有一个零点；
④当
时，存在，使得有3个零点.
其中所有正确结论的序号是______ .
，给出下列四个结论：①当
时，对任意，有1个极值点；②当
时，存在，使得存在极值点；③当
时，对任意，有一个零点；④当
时，存在，使得有3个零点.其中所有正确结论的序号是
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6 . 设数列
的各项均为非零的整数，其前
项和为
.若
为正偶数，均有
，且
，则
的最小值为（ ）
的各项均为非零的整数，其前项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ）| A．0 | B．22 | C．26 | D．31 |
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7 . 设为正整数，集合
对于
，设集合
.
(1)若
，写出集合
；
(2)若，且
满足
令 
，求证： 
；
(3)若，且 
，求证： 
.
为正整数，集合对于，设集合.(1)若
，写出集合；(2)若
，且满足令 ，求证： ；(3)若
，且 ，求证： .
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8 . 从数列中选取第
项，第
项，
，第
项（
），若数列
，
，，
是递增数列或递减数列（规定
时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，，为数列的长度为m的单调子列.已知有穷数列A：，，，
（
），任意两项均不相同，现以A的每一项
为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有
项，则
，
，，
构成一个新数列B.
(1)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
(2)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(3)若数列A共有
（
）项，求证：A必存在一个长度为
的单调子列.
中选取第项，第项，，第项（），若数列，，，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，，为数列的长度为m的单调子列.已知有穷数列A：，，，（），任意两项均不相同，现以A的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，，构成一个新数列B.(1)当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3.
(2)若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
(3)若数列A共有
（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列.
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9 . 已知
为有穷整数数列，若
满足：
，其中
，
是两个给定的不同非零整数，且
，则称具有性质
.
(1)若
，
，那么是否存在具有性质的
？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
(2)若，，且
具有性质，求证：
中必有两项相同；
(3)若
，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的
，都有
中任意两项均不相同.
为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.(1)若
，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；(2)若
，，且具有性质，求证：中必有两项相同；(3)若
，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.
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解题方法
10 . 将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，此时数列
中剩下的项构成数列
；再将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
，剩下的项构成数列
；…．如此操作下去，将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列
．
(1)分别写出数列
的前2项；
(2)记数列
的第项为
．求证：当
时，
；
(3)若
，求
的值．
中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…．如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列．(1)分别写出数列
的前2项；(2)记数列
的第项为．求证：当时，；(3)若
，求的值．
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