真题
1 . 记
(1)若
，求
和
;
(2)若
，求证:对于任意
，都有
，且存在
，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数
，均有
”.
(1)若
，求和;(2)若
，求证:对于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定义在
上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.
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名校
解题方法
2 . 已知双曲线
的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线
上的动点，点
.
(1)求点M到的两条渐近线的距离之积；
(2)求经过点Q的双曲线的切线方程；
(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：
.
的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线上的动点，点.(1)求点M到
的两条渐近线的距离之积；(2)求经过点Q的双曲线
的切线方程；(3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作
的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：.
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名校
3 . 设
，已知函数
的解析为
.
(1)当
时，求函数的最小值；
(2)证明当
时函数
至多有两个零点；
(3)如果函数有3个不同的零点，分别设为
、
、
，求实数a的取值范围；如果
，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列.
，已知函数的解析为.(1)当
时，求函数的最小值；(2)证明当
时函数至多有两个零点；(3)如果函数
有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列.
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4 . 已知椭圆
的右焦点为
，且经过点
，设O为原点，直线
与椭圆
交于两个不同点P，Q，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且
，求证：直线l经过定点；
(3)若
，求
面积的最大值，并求此时直线l的方程．
的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q，(1)求椭圆
的方程；(2)若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且
，求证：直线l经过定点；(3)若
，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．
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2014·北京石景山·一模
名校
解题方法
5 . 对于数列
把a₁作为新数列
的第一项，把a₁或
作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是
．已知数列为数列
的生成数列，
为数列的前n项和．
(1)写出
的所有可能值；
(2)若生成数列满足
，求数列的通项公式；
(3)证明：对于给定的
的所有可能值组成的集合为
．
把a₁作为新数列的第一项，把a₁或作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前n项和．(1)写出
的所有可能值；(2)若生成数列
满足，求数列的通项公式；(3)证明：对于给定的
的所有可能值组成的集合为．
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2024-08-24更新
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264次组卷
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5卷引用：上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数学试题
上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数学试题（已下线）2014届北京市石景山区高三一模理科数学试卷山东省日照市2024届高三下学期校际联考（三模）数学试题（已下线）专题3 数列中的新定义压轴大题（二）【讲】辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题
名校
6 . 已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若的极大值为
，求的值；
(3)当
时，若
，
使得
，求的取值范围．
．(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)若
的极大值为，求的值；(3)当
时，若，使得，求的取值范围．
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2024-07-09更新
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239次组卷
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2卷引用：上海市松江二中2025届高三上学期开学考试数学试卷
名校
解题方法
7 . 已知椭圆
，设过点
的直线
交椭圆
于M，N两点，交直线
于点
，点
为直线
上不同于点
的任意一点.的离心率为
，求
的值；
(2)若
，求的取值范围；
(3)若
，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，问是否存在，，的某种排列
，
，
（其中
，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点.
的离心率为，求的值；(2)若
，求的取值范围；(3)若
，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由.
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8 . 在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为
和
，设
的面积为S，内切圆半径为r，当
时，记顶点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，.
（i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数
，使得当
时，
；
（ii）若
，当
最大时，求四边形EPFQ的面积.
和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为
，.（i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数
，使得当时，；（ii）若
，当最大时，求四边形EPFQ的面积.
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2024-07-02更新
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449次组卷
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7卷引用：上海市浦东新区上海实验学校2024届高三下学期开学考试数学试题
上海市浦东新区上海实验学校2024届高三下学期开学考试数学试题广东省深圳实验、湛江一中、珠海一中三校2024届高三上学期12月联考数学试题江苏省苏州市相城区南京师大苏州实验学校2024届高三上学期期末模拟数学试题重庆缙云教育联盟2024届高三高考第一次诊断性检测数学试卷（已下线）第26题 圆锥曲线压轴大题（1）（高三二轮每日一题）河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前数学仿真冲刺卷三（已下线）专题5 解析几何中的十一大名圆【练】
9 . 设A，B是双曲线H：
上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是
，且点
在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：
，其中
，
，点M是抛物线C：
上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．(1)若双曲线H的离心率是
，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；(2)设A、B分别是双曲线H：
的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；(3)设双曲线H：
，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
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2024-07-02更新
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612次组卷
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4卷引用：上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题（已下线）专题2 解析几何中动点轨迹（方程）【练】（压轴题大全）（已下线）专题6 圆锥曲线三定义及其应用【讲】海南省儋州市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
名校
10 . 已知函数
，
.
(1)若直线
是曲线在
处的切线，求
的表达式；
(2)若任意
且
，有
恒成立，求符合要求的数对
组成的集合；
(3)当
时，方程
在区间
上恰有1个解，求k的取值范围.
，.(1)若直线
是曲线在处的切线，求的表达式；(2)若任意
且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合；(3)当
时，方程在区间上恰有1个解，求k的取值范围.
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