1 . 已知函数.
(1)当，证明：；
(2)设，若，且（），求证：.

3 . 已知函数，其中.
（1）求证：；
（2）若函数为定义域上的增函数，求的取值范围；
（3）若函数在上有两个零点，，求参数的取值范围，并证明：.

6 . 数列：，，，…，，…，对于给定的（，），记满足不等式：（，）的构成的集合为．
（Ⅰ）若数列，写出集合；
（Ⅱ）如果（，）均为相同的单元素集合，求证：数列，，…，，…为等差数列；
（Ⅲ）如果（，）为单元素集合，那么数列，，…，，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．

7 . 已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；
（Ⅱ）设集合，.
（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）

8 . 设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，
①证明：函数有两个零点，；
②求证：，注：为自然对数的底数.

9 . 设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；
（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.

10 . 已知数列A：a₁，a₂，…，a_N的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且，，求数列A和集合T；
(2)若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．