名校
1 . 若数列
满足
，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项
，同时添加
作为该数列的末项，可以得到一个项数为
项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
(1)设数列的递推公式为
，我们知道：当
取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有
项，其通项公式为
，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.
满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.(1)设数列
的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.(2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列
，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.(3)若数列
的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.
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2 . 我们把满足下列条件的数列称为
数列：
①数列的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是
数列；
(2)若数列
满足对任意正整数p，q，恒有
，且
，判断数列
是否是
数列，并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列
共有100项，且对任意
，恒有
，若数列为
数列，求满足条件的所有两位数k值的和．
称为数列：①数列
的每一项都是正偶数；②存在正奇数m，使得数列
的每一项除以m所得的商都不是正偶数．(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是
数列；(2)若数列
满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；(3)已知各项均为正数的数列
共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．
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名校
解题方法
3 . 在高等数学中，我们将
在
处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．
(1)分别求
在
处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：
．（其中
为虚数单位）；
(3)当
时，求证：
．（参考数据
）
在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．(1)分别求
在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：
．（其中为虚数单位）；(3)当
时，求证：．（参考数据）
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名校
4 . 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，
是函数
的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数
，在横坐标为
的点处作的切线，则在处的切线与
轴交点的横坐标是
，同理在
处的切线与轴交点的横坐标是
，一直继续下去，得到数列
.令
.
时，用牛顿法求出方程
的近似解
；
(2)在（1）的条件下，当
时，写出
与
的关系式（无需证明），并求数列的通项公式；
(3)令
，已知
是两个正实数，且
，求证：
.
是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数，在横坐标为的点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列.令.
时，用牛顿法求出方程的近似解；(2)在（1）的条件下，当
时，写出与的关系式（无需证明），并求数列的通项公式；(3)令
，已知是两个正实数，且，求证：.
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5 . 如图：已知双曲线（的一支）
与双曲线
，
为
上一点，过
的直线
与
另交于
、
两点.
与切于且为
中点.
(2)过、分别作的切线交于
，直线
、
分别与
、
交于
、
.
（ⅰ）确定的轨迹.
（ⅱ）证明：
的面积为定值.
与双曲线，为上一点，过的直线与另交于、两点.
与切于且为中点.(2)过
、分别作的切线交于，直线、分别与、交于、.（ⅰ）确定
的轨迹.（ⅱ）证明：
的面积为定值.
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解题方法
6 . 已知函数
其中
.
(1)若
证明：当
时，
(2)若
，求证：有唯一极值点，且
；
(3)若
，函数
有三个极值点
证明：
.
其中.(1)若
证明：当时，(2)若
，求证：有唯一极值点，且；(3)若
，函数有三个极值点证明：.
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7 . “让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数
，在
时，有不等式
成立；在
时，有不等式
成立.
(1)证明：当
，时，不等式
成立，并指明取等号的条件；
(2)已知
，…，（
）是大于
的实数（全部同号），证明：
(3)求证：
.
，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立.(1)证明：当
，时，不等式成立，并指明取等号的条件；(2)已知
，…，（）是大于的实数（全部同号），证明：(3)求证：
.
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2024-05-30更新
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437次组卷
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3卷引用：江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷
名校
解题方法
8 . 对于正实数a，
，我们熟知基本不等式：
，其中
为a，b的几何平均数，
为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：
．
(1)设
，求证：
；
(2)证明
；
(3)若不等式
对任意正实数
恒成立，求正实数m的取值范围．
，我们熟知基本不等式：，其中为a，b的几何平均数，为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：．(1)设
，求证：；(2)证明
；(3)若不等式
对任意正实数恒成立，求正实数m的取值范围．
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2024-07-14更新
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380次组卷
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2卷引用：河北省石家庄市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷
名校
解题方法
9 . 已知
，
.
(1)求
在
上的最小值；
(2)求曲线
在
处的切线方程
，并证明：
，都有
；
(3)若方程
有两个不相等的实数根，
，求证：
.
，.(1)求
在上的最小值；(2)求曲线
在处的切线方程，并证明：，都有；(3)若方程
有两个不相等的实数根，，求证：.
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名校
解题方法
10 . 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
，函数在处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
. 已知
在处的
阶帕德近似为
.注：
，
，
，
，…
(1)求实数的值；
(2)当
时，试比较与
的大小，并证明；
(3)定义数列
：
，
，求证：
.
，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，…(1)求实数
的值；(2)当
时，试比较与的大小，并证明；(3)定义数列
：，，求证：.
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2024-05-31更新
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909次组卷
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3卷引用：浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷
