名校
解题方法
1 . 数列
满足
则称数列为下凸数列.
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设
，其中
，
分别是公比为
，
的两个正项等比数列，且
，证明：
是下凸数列且不是等比数列；
(3)若正项下凸数列的前
项和为
，且
，求证：
.
满足则称数列为下凸数列.(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设
，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；(3)若正项下凸数列的前
项和为，且，求证：.
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2024-06-12更新
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1154次组卷
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5卷引用：福建省龙岩市上杭县第一中学2024届高三下学期5月数学模拟试题
名校
解题方法
2 . 已知函数
.
(1)证明：函数
在定义域内存在唯一零点；
(2)设
，试比较
与
的大小，并说明理由：
(3)若数列的通项
，求证
.
.(1)证明：函数
在定义域内存在唯一零点；(2)设
，试比较与的大小，并说明理由：(3)若数列
的通项，求证.
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2023-08-10更新
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380次组卷
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2卷引用：福建省莆田第二中学、仙游第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题
名校
解题方法
3 . 已知抛物线
的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①
；②
；③直线AB的方程为
．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线
经过点
，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，
，若
，求
的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：
的外接圆过焦点F．
的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线AB的方程为．(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线
经过点，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，，若，求的值；(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：
的外接圆过焦点F．
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名校
4 . 已知有穷正项数列
,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列
都可围成“HL-Circle”．
(1)设
,当
时,是否存在
使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：
(2)若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
（i）求
的取值集合；
（ii）求证：
．
,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列都可围成“HL-Circle”．(1)设
,当时,是否存在使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：(2)若
的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．（i）求
的取值集合；（ii）求证：
．
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解题方法
5 . 设A，B为椭圆C：
的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线
上．
(1)求直线
，
的斜率的乘积；
(2)证明：
；
(3)过右焦点F作x轴的垂线
，E为上异于F的任意一点，直线
交C于M，N两点，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．
的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上．(1)求直线
，的斜率的乘积；(2)证明：
；(3)过右焦点F作x轴的垂线
，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．
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6 . 如图，在菱形
中，
的余弦值为
为
靠近
的三等分点，将
沿直线
翻折成
，连接
和
，
平面
；
(2)判断线段
的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由；
(3)求二面角
的正切值的最大值．
中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和，
平面；(2)判断线段
的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由；(3)求二面角
的正切值的最大值．
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7 . 在长方体
中，
，
，
，以
为原点，
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点
可用有序数组
表示．空间中任意一点可用有序数组
表示，定义空间中两点
，
的距离
．
为边（含端点）上的动点，证明：
为定值；
(2)，
，
为空间中任意三点，证明：
；
(3)若
，
，其中
、
、
，求满足
的点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于
．
中，，，，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点可用有序数组表示．空间中任意一点可用有序数组表示，定义空间中两点，的距离．
为边（含端点）上的动点，证明：为定值；(2)
，，为空间中任意三点，证明：；(3)若
，，其中、、，求满足的点的个数，并证明从这个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于．
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名校
解题方法
8 . 已知函数
，
，其中
为自然对数的底数.
(1)证明：
时，
；
(2)求函数
在
内的零点个数；
(3)若
，求的取值范围.
，，其中为自然对数的底数.(1)证明：
时，；(2)求函数
在内的零点个数；(3)若
，求的取值范围.
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解题方法
9 . 设
，函数
，
的定义域都为
.
(1)求
和
的值域；
(2)用
表示
中的最大者，证明：
；
(3)记的最大值为
，求的最小值.
，函数，的定义域都为.(1)求
和的值域；(2)用
表示中的最大者，证明：；(3)记
的最大值为，求的最小值.
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10 . 对于数列，称
为数列的一阶差分数列，其中
.对正整数
，称
为数列的
阶差分数列，其中
已知数列的首项
，且
为的二阶差分数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设
为数列
的一阶差分数列，对
，是否都有
成立？并说明理由；（其中
为组合数）
(3)对于（2）中的数列
，令
，其中
.证明：
.
，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列.(1)求数列
的通项公式；(2)设
为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数）(3)对于（2）中的数列
，令，其中.证明：.
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2024-05-09更新
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758次组卷
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3卷引用：福建省泉州市永春第一中学2024届高三最后一卷数学试卷
