1 . 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误．
(1)设为正整数，求证：．
证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有．
那么当时，就有
．因此，对于任何正整数等式都成立．
(2)设为正整数，求证：．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有，
那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立．
根据（1）和（2），由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立．

2 . （1）求证：；
（2）求证：；
（3）若m、n、r均为正整数，试证明：．

3 . （1）已知直线与抛物线交于，两点，直线l与x轴相交于点，求证：；
（2）试将第（1）题中的命题加以推广，使得第（1）题中的命题是推广后得到的特例，并证明推广后得到的命题正确．

4 . 已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．

5 . 阅读“多知道一点：平面方程”，并解答下列问题：
(1)建立空间直角坐标系，已知，，三点，而是空间任意一点，求A，B，C，P四点共面的充要条件．
(2)试求过点，，的平面ABC的方程，其中a，b，c都不等于0．
(3)已知平面有法向量，并且经过点，求平面的方程．
(4)已知平面的方程为，证明：是平面的法向量．
(5)①求点到平面的距离；
②求证：点到平面的距离，并将这个公式与“平面解析几何初步”中介绍的点到直线的距离公式进行比较．

6 . （1）叙述并证明直线与平面平行的性质定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）；
（2）叙述并证明三垂线定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）；
（3）叙述并证明两个平面平行的判定定理（要求写出已知､求证､证明过程并画图）.

7 . 把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.

8 . 设直线，曲线．若直线与曲线同时满足下列两个条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有．则称直线为曲线的“上夹线”．
（1）已知函数．求证：为曲线的“上夹线”；
（2）观察下图：

根据上图，试推测曲线的“上夹线”的方程，并给出证明．

9 . 已知函数，记的图象为曲线C．
(1)若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值；
(2)求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M．

10 . 已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径．
(1)求证：的面积为定值；
(2)若直线经过圆的圆心，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值．