1 . 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点．

(1)求证：平面；
(2)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．

2 . 证明下列命题：
（1）设，证明：；
（2）求证：.

3 . 如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

4 . 如图所示，已知点P是所在平面外一点，M，N，K分别AB，PC，PA的中点，平面平面．

（1）求证：平面PAD；
（2）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD，并加以证明；
（3）求证：．

5 . 已知函数，.
（1）求证：是奇函数并求的单调区间；
（2）分别计算合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明.

6 . 如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.

（1）求证：；
（2）若直线平面，试确定点的位置，并证明你的结论；
（3）设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

7 . 已知连续不断函数，，，
（1）证明：函数在区间上有且只有一个零点；
（2）现已知函数在上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数的零点分别为．
求证：（i）；
(ii)判断与的大小，并证明你的结论．

8 . 如图，中，是的中点，，．将沿
折起，使点与图中点重合．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论．

9 . 如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离.

10 . 如图，三棱柱的侧面和均为正方形，，交于点O，D为中点，.

(1)证明：；
(2)设，当为何值时，平面与平面夹角的余弦值等于？