1 . 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:取正方形ABCD边AB的中点，沿MC、MD折叠，将MA、MB用胶水粘起来，使得点A、B重合于点，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求，；
(2)证明；
(3)已知，求，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，．

3 . 某投资公司现从甲投资研究室（人）、乙投资研究室（人）中随机选出名资深投资顾问对某项目进行考察投资.
(1)记选出的名资深投资顾问中，甲投资研究室的人数为，求的分布列和均值；
(2)为给投资提供决策依据，资深投资顾问对此项目的个子项目调查了年研发经费（单位：万元）和年销售额（单位：十万元），并对数据进行了初步处理，得到一些统计量的值：，，，，根据散点图认为关于的经验回归方程为，求与的值（结果精确到）.
参考公式：，其中

4 . 下列说法正确的是（       ）

A．数据1，2，4，8，9的第百分位数是3

B．若，，则

C．一组数据，，，，的线性回归方程为，则对应的残差为

D．对于分类变量，，若随机变量的观测值越大，则推断“与有关系”时犯错误的概率越大

5 . 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，.
(1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值；
(3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得.

6 . 某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分.
(1)某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？
(2)若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为，当取得最大值时，求的值.

7 . 随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（       ）

A．这组数据的极差为48

B．为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70

C．为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70

D．这组数据的上四分位数是84.5

8 . 三棱柱中，，点是的外心，平面，，二面角为，则下列选项中正确的是（       ）

A．三棱柱的侧面积为

B．与所成角的余弦值为

C．点到平面的距离为

D．若四棱锥各顶点都在同一球面上，则该球的半径为

9 . 今年两会期间，国家对中小学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣，为了响应国家的号召并进一步提高学生的综合素质，某校开设了俯卧撑训练课，分别从该校的5000名学生中，利用分层抽样的方式抽取100名学生，统计在2分钟内所做俯卧撑个数的频率分布直方图，如下图所示.

（注；若某个学生在2分钟内可做俯卧撑个数大于等于30视为优秀，位于20—30之间视为合格，小于20视为不合格，假设不考虑不同年级不同性别学生之间的个体差异）
(1)若该校高一，高二，高三的人数分别为1500，1500，2000，以频率为概率估计
①开设该训练课前高一学生中不合格的人数；
②开设该训练课后全校学生合格的人数；
(2)若随机选取4名学生，其中包含1名女生，3名男生，再从这4名学生中挑选2名学生，请用列表法，求该女生被选中的概率.

10 . 如图，已知抛物线 的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.

(1)若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；
(2)若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.