1 . 如图1，抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希腊数学家阿基米得最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积．第一次分割，如图2，在弓形区域里以
为底边分割出一个三角形
，确保过顶点
的抛物线
的切线与底边平行，
称为一级三角形；第二次分割，如图3，以，两个边
，
为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形
，
，确保过顶点
，
的抛物线的切线分别与，平行，，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的
．设抛物线的方程为
，直线的方程为
，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过
次分割后得到的所有三角形面积之和为__________ ．
为底边分割出一个三角形，确保过顶点的抛物线的切线与底边平行，称为一级三角形；第二次分割，如图3，以，两个边，为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两个三角形，，确保过顶点，的抛物线的切线分别与，平行，，都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面积的．设抛物线的方程为，直线的方程为，请你根据上述阿基米德的计算方法，求经过次分割后得到的所有三角形面积之和为
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2 . 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由
，直角梯形
和以
为圆心的四分之一圆弧
构成，其中
，
，
，且
，
，
，将平面图形
以
所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形
，
在弧
上，
在线段
上，
在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设
（
），
①请用
表示燃料的体积
；
②若烟花燃烧时间
和燃料体积满足关系
，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），①请用
表示燃料的体积；②若烟花燃烧时间
和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
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2023-07-12更新
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814次组卷
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7卷引用：重组2 高一期末真题重组卷（山东卷）B提升卷
（已下线）重组2 高一期末真题重组卷（山东卷）B提升卷山东省日照市2022-2023学年高一下学期期末校际联合考试数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）专题03 基本立体图形、直观图、表面积与体积-期末真题分类汇编（新高考专用）福建省泉州第五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）专题04 立体几何初步-期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
3 . 欧拉公式
(
是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，
表示的复数位于复平面中的（ ）
(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）| A．第一象限 | B．第二象限 |
| C．第三象限 | D．第四象限 |
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2021-09-18更新
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995次组卷
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16卷引用：第6 篇—— 平面向量及其应用, 复数-新高考山东专题汇编
（已下线）第6 篇—— 平面向量及其应用, 复数-新高考山东专题汇编2020届山东省济宁市嘉祥一中高三第三次质量检测数学试题2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题（已下线）第25讲 数系的扩充与复数的引入（讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）（已下线）专题10.2 复数 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）（已下线）押新高考第2题 复数-备战2022年高考数学临考题号押题（新高考专用）江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试理科数学试题江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试文科数学试题北京市石景山区2020-2021学年高一下学期期末数学试题安徽省合肥一六八中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题陕西省部分名校2021-2022学年高三上学期10月月考文科数学试题（已下线）第2课时 课后 复数的几何意义（已下线）7.1复数的概念C卷（已下线）12.3-4 复数的几何意义、三角表示-2021-2022学年高一数学10分钟课前预习练（苏教版2019必修第二册）（已下线）第7章 复数（新文化30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）辽宁省沈阳市皇姑区2023届高三上学期期中数学试题
2020高三上·全国·专题练习
解题方法
4 . 目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为
，其中
为传感器在静水中行进的速度(单位：
)，为行进的时间(单位：
)，
为常数，如果待测量的河道的水流速度为
，则该传感器在水中逆流行进
消耗的能量的最小值为（ ）
，其中为传感器在静水中行进的速度(单位：)，为行进的时间(单位：)，为常数，如果待测量的河道的水流速度为，则该传感器在水中逆流行进消耗的能量的最小值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-04-14更新
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1396次组卷
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9卷引用：数学-学科网2020年高三11月大联考（山东卷）
（已下线）数学-学科网2020年高三11月大联考（山东卷）（已下线）文科数学-学科网2020年高三11月大联考（新课标Ⅲ卷）（已下线）文科数学-学科网2020年高三11月大联考（新课标Ⅰ卷）（已下线）理科数学-学科网2020年高三11月大联考（新课标Ⅲ卷）（已下线）专题06 函数的最值与值域的妙解-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破（已下线）数学与物理（已下线）第07讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（测）（提高卷）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点3 导数与数学文化（三）（已下线）第五章 一元函数的导数及其应用单元测试B卷-【新高考题型】2020-2021学年高二数学单元实战演练AB卷（人教A版2019）
2021高三上·山东·专题练习
名校
解题方法
5 . 共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，
，大圆半径
，小圆半径
，记
为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为
，当
取得最大值时
___________ .
，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为，当取得最大值时
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2021-04-14更新
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1406次组卷
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6卷引用：数学-学科网2021年高三1月大联考（山东卷）
（已下线）数学-学科网2021年高三1月大联考（山东卷）（已下线）押第9题 解三角形-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（全国卷2）（已下线）【练】专题8 三角函数中的新定义、数学文化问题（已下线）综合测试卷（巅峰版）-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）湖北省恩施高中郧阳中学2021-2022学年高三仿真模拟考试数学试题广东省广州市南武中学2024届高三上学期1月月考数学试题
名校
6 . 以罗尔中值定理､拉格朗日中值定理､柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，则在区间内至少存在一个点
，使得
，
称为函数
在闭区间上的中值点，若关于函数
在区间
上的“中值点”的个数为
，函数
在区间
上的“中值点”的个数为，则有（ ）(参考数据：
，
，
，
.)
在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（ ）(参考数据：，，，.)A． | B． | C． | D． |
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2021-02-24更新
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1681次组卷
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10卷引用：黄金卷15-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）
（已下线）黄金卷15-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）（已下线）考点18 导数的综合应用-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）（已下线）必刷卷04－2021年高考数学考前信息必刷卷（江苏专用）（已下线）专题23 拉格朗日（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）湖南省常德市第一中学2021届高三下学期第五次月考数学试题江苏省泰州中学2020-2021学年高二下学期3月月度检测数学试题江苏省苏州市新区一中、苏大附中、苏州五中2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题福建省泉州科技中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）第08周周练（拓展三：利用导数研究函数的零点问题；拓展四：利用导数研究方程的根）
2020·全国·模拟预测
解题方法
7 . 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即
（为三角形的面积，
、
、
为三角形的三边）.现有
满足
，且的面积
，则下列结论正确的是（ ）
（为三角形的面积，、、为三角形的三边）.现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）A．的周长为 | B．的三个内角 、、 成等差数列 |
C．的外接圆半径为 | D．的中线 的长为 |
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2020-11-24更新
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1882次组卷
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8卷引用：黄金卷06-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）
（已下线）黄金卷06-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）（已下线）重难点02 三角函数与解三角形-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)（已下线）热点03 等差数列与等比数列-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（已下线）专题1 三斜求积 巧求面积 练（已下线）【讲】专题8 三角函数中的新定义、数学文化问题（已下线）2021届全国著名重点中学新高考冲刺数学试题（9）河北省石家庄市正中实验中学2020-2021学年高二上学期第三次月考数学试题湖南省常德市第二中学2020-2021学年高二(332班)下学期期中数学试题
名校
解题方法
8 . 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美. 定义：能够将圆
的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）
的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）A．对于圆： 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数 |
B．函数 是圆： 的一个太极函数 |
C．存在圆，使得 是圆的一个太极函数 |
D．直线 所对应的函数一定是圆： 的太极函数 |
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2020-09-01更新
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926次组卷
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6卷引用：黄金卷08-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）
（已下线）黄金卷08-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）（已下线）练习10 2021年高考数学二轮小题专练（新高考）福建省福州第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题重庆市綦江中学2021届高三下学期5月考前模拟数学试题重庆市凤鸣山中学2021届高三下学期第一次月考数学试题2.4 圆的方程
真题
名校
9 . 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足
，且存在正整数，使得
成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2020-07-08更新
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24078次组卷
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53卷引用：第13练 等比数列与求和-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）
（已下线）第13练 等比数列与求和-2021年高考数学一轮复习小题必刷（山东专用）（已下线）专题12 新定义问题、推理与证明-2020年高考数学（理）母题题源解密（全国Ⅱ专版）（已下线）专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（已下线）专题13 不等式、推理与证明——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题08 数列-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）考点20 数列的综合运用-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读（新高考地区专用）（已下线）专题17 数列的概念与数列的通项公式-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）易错点08 不等式-备战2021年新高考数学一轮复习易错题（已下线）考点20 等差数列与等比数列-2021年新高考数学一轮复习考点扫描（已下线）专题6.1 数列的概念与简单表示（精讲）-2021届高考数学（文）一轮复习讲练测（已下线）专题7.1 数列的概念与简单表示（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题6.1 数列的概念与简单表示（精讲）-2021年高考数学（文）一轮复习学与练（已下线）热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)（已下线）考点57 推理与证明-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过 （已下线）专题18+新定义题、推理与证明-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化（已下线）技巧01 选择题解法与技巧 第二篇 解题技巧篇（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）（已下线）专题13 数列-备战2021年新高考数学纠错笔记 （已下线）押第15题 数列-备战2021年高考数学(理)临考题号押题（全国卷1）（已下线）解密10 等差数列、等比数列（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练（已下线）专题7.1 数列的概念与简单表示（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）押第14题 数列小题-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）（已下线）第26讲 数列的概念与简单表示（讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）（已下线）考向17 数列新定义-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）考点47 推理与证明-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点帮（已下线）2020年高考全国2数学理高考真题变式题11-15题（已下线）第2讲 数列通项与求和（讲·）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）（已下线）热点01 数学传统文化和实际民生为载体的创新题-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）专题17 盘点数列与其它知识交汇问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）技巧01 选择题解法与技巧（讲）--第二篇 解题技巧篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》（已下线）技巧01 选择题解法与技巧（讲）--第二篇 解题技巧篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）专题06 数学情景与新文化100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)（已下线）查补易混易错点10 数列-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【数学】（新高考地区专用）（5月31日）（已下线）押全国卷（理科）第5，9题 数列-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）（已下线）专题05 数列选填题（已下线）模块八 专题8 以数学文化新情景为背景的压轴题（已下线）专题6-1 数列函数性质与不等式放缩（讲+练）-1（已下线）专题14 数列的通项公式（已知递推式）-3全国甲乙卷5年真题分类汇编《数列》选填题（已下线）专题16 数列新定义题的解法 微点1 数列新定义题的解法（一）（已下线）数列新定义（已下线）专题28 数列的概念与简单表示（已下线）专题06 数列小题（理科）-2专题17数列选择填空题(第二部分)2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）江苏省苏州中学2020-2021学年高二上学期学业质量评估数学试题江苏省苏州实验中学2021-2022学年高二10月份调研数学试题宁夏银川三沙源上游学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题福建省龙岩市第一中学2022届高三上学期第三次半月考数学试题（已下线）第四章 数列（提分小卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（苏教版2019选择性必修第一册）上海市2022届高三高考冲刺卷五数学试题上海市松江二中2022-2023学年高二上学期期中数学试题内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题
名校
解题方法
10 . 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________ ．
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2020-05-01更新
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648次组卷
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6卷引用：黄金卷11-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）
（已下线）黄金卷11-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）2019届豫科名校大联考高三模拟数学（理科）试题2019届豫科名校大联考高三模拟数学（文科）试题陕西省宝鸡市渭滨区2021届高三下学期适应性训练(一)理科数学试题陕西省宝鸡市渭滨区2021届高三下学期适应性训练(一)文科数学试题江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高二下学期期末学情检测数学试题
