1 . 如图，第个图形是由棱长为的正方体挖去棱长为的正方体得到的，记其体积为.
   
(1)求证：；
(2)求和：.

2 . 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，轴，点的坐标为，，将向下方平移，得到，且点的对应点落在反比例函数的图象上，点的对应点落在轴上，连接，．
   
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)求平移的距离及线段扫过的面积．

3 . 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.

4 . 已知正方形，，绕点旋转.
(1)模型建立
如图，当的一边与相交于点，另一边与的延长线交于点时，请直接写出与的数量关系.
   
(2)类比应用
如图，当的一边旋转到正方形的外部，且点，，在同一条直线上时，.猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想.
(3)拓展延伸
如图，当的一边旋转到正方形的内部，且点，，在同一条直线上时，若，，与交于点.已知，.
①求的长；
②直接写出的值

5 . 已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
(1)设，求证：是定值；
(2)求的取值范围.

6 . 已知曲线E上任意一点Q到定点的距离与Q到定直线的距离之比为．
(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)斜率为的直线l交曲线E于B，C两点，线段BC的中点为M，点M在x轴下方，直线OM交曲线E于点N，交直线于点D，且满足（O为原点）．求证：直线l过定点．

7 . 天文学家、数学家梅文鼎，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，在其著作《平三角举要》中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法.如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，为锐角三角形外接圆的圆心.若，则（       ）
   

A．

B．

C．

D．

8 . 在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.
       
(1)证明：平面平面；
(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.

9 . 已知函数，，若对任意的x，y都有．
(1)求的解析式；
(2)设，
（ⅰ）判断并证明的奇偶性；
（ⅱ）解不等式：．

10 . 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求数列的前项和；
(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.