1 . 对于无穷数列，，若，，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若且，，求所有满足该条件的.

2 . 若函数和同时在处取得极小值，则称和为一对“函数”.
（1）试判断与是否是一对“函数”；
（2）若与是一对“函数”.
①求和的值；
②当时，若对于任意，恒有，求实数的取值范围.

3 . 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________

4 . 已知数列的前项和为，.
（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
（2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1．

5 . 设集合是集合…，的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．
求：（1）集合的“和谐子集”的个数；
（2）集合的“和谐子集”的个数．

6 . 已知等差数列满足，前8项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足．
① 证明：为等比数列；
② 求集合．

7 . 如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

8 . 记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令，数列的前n项和为，数列的前n项和为．
（1）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求；
（2）若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；
（3）若，求．

9 . 设，，其中．
（1）当时，求的值；
（2）对，证明：恒为定值．

10 . 设集合是非空集合的两个不同子集．
（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；
（2）若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数．