1 . 已知的三边长分别为a，b，c，其面积为S，则的内切圆O的半径.这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”设空间四面体四个面的面积分别为积为V，内切球半径为R.请用类比推理方法猜测对空间四面体存在类似结论为______.

2 . 观察不等式：，，，，由此归纳第个不等式为____________；要用数学归纳法证明该不等式，由时不等式成立，推证时，左边应增加的项数为____________.

3 . 用数学归纳法证明命题“凸n边形的内角和”时，第一步验证对初始值成立时，________．

4 . 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________（排球的直径约为）

5 . 用数学归纳法说明：，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是________项.

6 . 用数学归纳法证明“n³＋（n＋1）³＋（n＋2）³（n∈N^*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开__________.

7 . 利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了________项；

8 . 波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有，，则当的面积最大时，AC边上的高为_______________.

9 . 在中，角、、所对的边分别为、、，且，判断 的形状，并加以证明.

10 . 在用数学归纳法证明：（）的过程中，则当时，左端应在的左端上加上_________.