1 . 已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（）；
②（）；
③（）
(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；
(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．

2 . 已知某公司统计了一种产品在2023年各月的销售情况，如图，公司将每连续3个月的销售量做为一个观测组，对该公司这种产品的销售量（单位：万）进行监测和预测.

(1)现从产品的10个观测组中任取一组，求组内三个月中至少有一个销售量高于50万的概率；
(2)若当月的销售量大于上一个月的销售量，则称该月的销售指数增长；若当月的销售量小于上一个月的销售量，则称该月的销售指数下降.（已知1月份的销售量低于2022年12月份销售量）.现从10个观测组中任取一组，求抽到的观测组中销售指数增长月份恰有2个的概率.
(3)假设该产品每月的销售指数是否增长只受上一个月销售指数的影响，预测2024年1月份“销售指数增长”和“销售指数下降”的概率估计值哪个最大（直接写出结果）.

3 . 已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，写出所有可能的集合B；
(2)若，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．

4 . 为了解学生课余运动时间的情况，从某校高一年级随机抽取了150名学生，统计了他们一周时间内课余运动的时间，按照，，，，（单位：小时）进行分组，绘制成频率分布直方图（如图）．

(1)由图中数据，求的值，并求在被抽到的人中，课余运动时间在的人数；
(2)试估计该校高一年级课余运动时间在中的人数占总人数的百分比；
(3)试估计该校高一年级课余运动时间的平均值．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

5 . “绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011-2020年的植树成活率（%）统计如下：（表中“/”表示该年末植树）：

	2011年	2012年	2013年	2014年	2015年	2016年	2017年	2018年	2019年	2020年
甲	95.5	92	96.5	91.6	96.3	94.6	/	/	/	/
乙	95.1	91.6	93.2	97.8	95.6	92.3	96.6	/	/	/
丙	97.0	95.4	98.2	93.5	94.8	95.5	94.5	93.5	98.0	92.5

规定：若当年植树成活率大于，则认定该年为优质工程．
(1)从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；
(2)从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列；
(3)若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？

6 . 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：

男生	81	84	86	86	88	91
女生	72	80	84	88	92	97

(1)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
(2)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取学生，成绩为89分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小.（只需写出结论）

7 . 立德中学举行冬令营活动期间，对位参加活动的学生进行了文化和体能测试，满分为150分，其测试成绩都在90分和150分之间，成绩在认定为“一般”，成绩在认定为“良好”，成绩在认定为“优秀”．成绩统计人数如下表：

体能 文化	一般	良好	优秀
一般	0
良好	3
优秀	2

例如，表中体能成绩良好且文化成绩一般的学生有2人．
(1)若从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到文化或体能优秀的学生概率为．求，的值；
(2)在（1）的情况下，从体能成绩优秀的学生中，随机抽取2人，求至少有一个人文化的成绩为优秀的概率；
(3)若让使参加体能测试的成绩方差最小，写出的值．（直接写出答案）

8 . 已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．
(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；
(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；
(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值．

9 . 近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如下：

成绩
男生（人数）	2	5	8	9	1
女生（人数）	a	b	10	3	2

（1）在抽取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；
（2）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小．（只写出结论，不需要说明理由）