1 . 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．

3 . 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”．
(1)判断数集是否为“数集”；
(2)已知数集是“数集”，证明：
①；
②．
(3)已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：．

4 . 设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．
(1)写出的所有可能情况，并求；
(2)证明：是等比数列，并求；
(3)设抛掷n次硬币后的期望为，求．

5 . 已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.

6 . 已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．

7 . 已知抛物线，动圆，为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
(1)若求的最小值；
(2)若过圆心作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若线段的中点为，连交抛物线于点，记的面积为，求的表达式及其最小值.

8 . 如果数列满足，则称之为凸数列.现给定函数及凸数列，它们满足以下两个条件：①；②对，有（为正常数）.
(1)若数列满足，，且数列满足，请判断是否为凸数列，并说明理由；
(2)若，求证：；
(3)对任何大于等于2的正整数i，j且，求证：.

9 . 已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：.
(1)已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由；
(2)对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数；
(3)若且，集合，求：的最小值.

10 . 当，且时，我们把叫做数列的阶子数列，若成等差（等比）数列，则称为数列的阶等差（等比）子数列.已知项数为，且的等差数列的首项，公差.
(1)写出数列的所有3阶等差子数列；
(2)数列中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；
(3)记数列的3阶和4阶等差子数列个数分别为，求证：.