2024高三·全国·专题练习
1 . 已知,函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,设的导函数为,若恒成立,求证:存在,使得;
(3)设,若存在,使得,证明:.
(1)当时,求的单调区间;
(2)当时,设的导函数为,若恒成立,求证:存在,使得;
(3)设,若存在,使得,证明:.
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2 . 已知圆C过点,,.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M,N,点P为直线上的动点,直线PM,PN与圆C的另一个交点分别为E,F(EF与MN不重合),证明:直线EF过定点.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M,N,点P为直线上的动点,直线PM,PN与圆C的另一个交点分别为E,F(EF与MN不重合),证明:直线EF过定点.
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3 . 函数极限是现代数学中非常重要的概念,函数在处的极限定义如下:,存在正数,当时,均有,则称在处的极限为A,记为,例如:在处的极限为2,理由是:,存在正数,当时,均有,所以.已知函数,,(,为自然对数的底数).
(1)证明:在处的极限为;
(2)若,,,求的最大值;
(3)若,用函数极限的定义证明:.
(1)证明:在处的极限为;
(2)若,,,求的最大值;
(3)若,用函数极限的定义证明:.
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4 . 已知,,直线l:,动点P到l的距离为d,满足,设点P的轨迹为C,过点F作直线,交C于G,H两点,过点F作与垂直的直线,直线l与交于点K,连接AG,AH,分别交直线l于M,N两点.
(1)求C的方程;
(2)证明:;
(3)记,的面积分别为,,四边形AGKH的面积为,求的范围.
(1)求C的方程;
(2)证明:;
(3)记,的面积分别为,,四边形AGKH的面积为,求的范围.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
5 . 已知函数,.
(1)若直线是函数的图象的切线,求实数的值;
(2)当时,证明:对于任意的,不等式恒成立.
(1)若直线是函数的图象的切线,求实数的值;
(2)当时,证明:对于任意的,不等式恒成立.
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2024高三下·全国·专题练习
6 . 已知函数().
(1)求的单调区间;
(2)若函数,是函数的两个零点,证明:.
(1)求的单调区间;
(2)若函数,是函数的两个零点,证明:.
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7 . 若数列若满足递推关系其中为常数,我们称该数列为k阶常系数齐次线性递推数列,并称方程为递推关系式(*)的特征方程,该方程的根称为数列的特征根.我们有以下结论:对于k阶常系数齐次线性递推数列,若其不同的特征根为,,…,,且特征根的重数为,则数列的通项公式为
其中,,这里都是常数,它们由数列初始值可以确定.
(1)若数列满足,且,,,求数列的通项公式;
(2)若数列满足对于所有非负整数m,n(),都成立,且,求数列的通项公式;
(3)设边长为1的正六边形ABCDEF,O是六边形的中心,除了六边形的每一条边,我们还从点O到每个顶点连一条线段,共得到12条长度为1的线段,一条路径是指动点沿着上述线段(全部或部分)移动,始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条?(注:根的重数就是方程中同样根的数量)
其中,,这里都是常数,它们由数列初始值可以确定.
(1)若数列满足,且,,,求数列的通项公式;
(2)若数列满足对于所有非负整数m,n(),都成立,且,求数列的通项公式;
(3)设边长为1的正六边形ABCDEF,O是六边形的中心,除了六边形的每一条边,我们还从点O到每个顶点连一条线段,共得到12条长度为1的线段,一条路径是指动点沿着上述线段(全部或部分)移动,始点终点均为点O的一条移动路线.求长度为2024的路径共有多少条?(注:根的重数就是方程中同样根的数量)
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8 . 极值的广义定义如下:如果一个函数在一点的一个邻域(包含该点的开区间)内处处都有确定的值,而以该点处的值为最大(小),这函数在该点处的值就是一个极大(小)值.
对于函数,设自变量x从变化到,当,是一个确定的值,则称函数在点处右可导;当,是一个确定的值,则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等,则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子,说明该函数在某点处不可导,但是该点是该函数的极值点;
(2)已知函数.
(ⅰ)求函数在处的切线方程;
(ⅱ)若为的极小值点,求a的取值范围.
对于函数,设自变量x从变化到,当,是一个确定的值,则称函数在点处右可导;当,是一个确定的值,则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等,则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子,说明该函数在某点处不可导,但是该点是该函数的极值点;
(2)已知函数.
(ⅰ)求函数在处的切线方程;
(ⅱ)若为的极小值点,求a的取值范围.
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9 . 若数列和的项数均为,则将数列和的距离定义为.
(1)求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离;
(2)记A为满足递推关系的所有数列的集合,数列和为A中的两个元素,且项数均为.若,,数列和的距离,求m的最大值;
(3)记S是所有7项数列(其中,或1)的集合,,且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证:T中的元素个数小于或等于16.
(1)求数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离;
(2)记A为满足递推关系的所有数列的集合,数列和为A中的两个元素,且项数均为.若,,数列和的距离,求m的最大值;
(3)记S是所有7项数列(其中,或1)的集合,,且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证:T中的元素个数小于或等于16.
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10 . 已知函数
(1)当时,求的零点;
(2)若恰有两个极值点,求的取值范围.
(1)当时,求的零点;
(2)若恰有两个极值点,求的取值范围.
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