1 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，数列满足，且
①比较，，1的大小
②证明：.

2 . 现有个编号为的小球,随机将它们分成甲、乙两组,每组个． 设甲组中小球的最小编号为,最大编号为；乙组中小球的最小编号为,最大编号为 记,
(1)当时,求的分布列和数学期望；
(2)令表示“事件与的取值恰好相等”．
①求事件发生的概率；
②证明：

3 . 约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为，，⋯，，（）．
(1)当时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；
(2)当时，若，，⋯构成等比数列，求正整数a．
(3)当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，，⋯，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．

4 . 类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，则.

(1)如图2，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值；
(2)当时，证明以上三面角余弦定理；
(3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，记二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.

5 . 柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.

6 . 已知函数，其中.
(1)当时，，求a的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.

7 . 在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，.
（i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积.

10 . 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.