1 . 设函数
，直线
是曲线
在点
处的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：
，
，
）
，直线是曲线在点处的切线．(1)当
时，求的单调区间.(2)求证：
不经过点.(3)当
时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：
，，）
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2894次组卷
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7卷引用：2024年北京高考数学真题
2024年北京高考数学真题专题03导数及其应用（已下线）2024年北京高考数学真题变式题16-21专题13导数及其应用（已下线）五年北京专题09导数及其应用（已下线）三年北京专题09导数及其应用（已下线）第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（练习）-2
2 . 已知双曲线
，过
的直线与双曲线
的右支交于
两点.
(1)若
，求直线的方程，
(2)设过点
且垂直于直线的直线
与双曲线交于
两点，其中
在双曲线的右支上.
（i）设
和
的面积分别为
，求
的取值范围；
（ii）若关于原点对称的点为
，证明：为
的垂心，且
四点共圆.
，过的直线与双曲线的右支交于两点.(1)若
，求直线的方程，(2)设过点
且垂直于直线的直线与双曲线交于两点，其中在双曲线的右支上. （i）设
和的面积分别为，求的取值范围；（ii）若
关于原点对称的点为，证明：为的垂心，且四点共圆.
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2024高三下·全国·专题练习
3 . 椭圆
，过一点
作两直线
交椭圆分别于
和
，若的斜率存在且不为0，证明：
四点共圆的充要条件为倾斜角互补．
，过一点作两直线交椭圆分别于和，若的斜率存在且不为0，证明：四点共圆的充要条件为倾斜角互补．
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解题方法
4 . 已知双曲线：
的离心率为
，点
在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若
，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．(1)求双曲线
的方程．(2)若
，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．(3)点
，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
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2025高三·全国·专题练习
5 . 对给定的正整数，令
，对任意的
，
，定义
与的距离
．设是
的含有至少两个元素的子集，集合
中的最小值称为的特征，记作
．
(1)当
时，直接写出下述集合的特征：
；
(2)当
时，设
且
，求中元素个数的最大值；
(3)当时，设且
，求证：中的元素个数小于
．
，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作．(1)当
时，直接写出下述集合的特征：；(2)当
时，设且，求中元素个数的最大值；(3)当
时，设且，求证：中的元素个数小于．
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解题方法
6 . 已知函数
.
(1)求证：
.
(2)若
对任意
恒成立，求
的最小值.
(3)求证：
的图象恒在直线
上方.
.(1)求证：
.(2)若
对任意恒成立，求的最小值.(3)求证：
的图象恒在直线上方.
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解题方法
7 . 已知
是底面边长为1的正四棱柱，
为
与
的交点．
与底面
所成角的大小为
，异面直线
与所成角的大小为
，求证：
；
(2)若点C到平面
的距离为
，求正四棱柱的表面积；
(3)若正四棱柱的高为2，在矩形
内（不包含边界）存在点P，满足P到线段BC的距离与到线段
的距离相等，求
的最小值．
是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点．
与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：；(2)若点C到平面
的距离为，求正四棱柱的表面积；(3)若正四棱柱
的高为2，在矩形内（不包含边界）存在点P，满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值．
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8 . 已知
，设函数
的表达式为
（其中
）
(1)设
，
，求曲线在点
处的切线方程；
(2)设
，
，集合
，记
，若
在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围；
(3)当
，
，
时，记
，其中n为正整数．求证：
．
，设函数的表达式为（其中）(1)设
，，求曲线在点处的切线方程；(2)设
，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围；(3)当
，，时，记，其中n为正整数．求证：．
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解题方法
9 . 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形
内接于椭圆
，其中点，分别在第三、四象限，边
，
与轴的交点为
，
.
，且，为椭圆
的焦点，求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的另一内接矩形，且点
也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：
是定值，并求出该定值；
(3)若是边长为1的正方形，边
，
与轴的交点为
，
，设
（
，
，…，
）是正方形内部的100个点，记
，其中，，
，
.证明：
，
，
，
中至少有两个小于81.
内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；(2)若
是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；(3)若
是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
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解题方法
10 . 已知函数
，
.
(1)求的极值；
(2)证明：
.
，.(1)求
的极值；(2)证明：
.
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