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1 . 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数
，设自变量x从
变化到
，当
，
是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当
，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
.
（ⅰ）求函数
在
处的切线方程；
（ⅱ）若为
的极小值点，求a的取值范围.
对于函数
，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数
.（ⅰ）求函数
在处的切线方程；（ⅱ）若
为的极小值点，求a的取值范围.
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解题方法
2 . 已知双曲线
的渐近线为
，左顶点为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
交
轴于点
，过点的直线交双曲线于
，
，直线
，
分别交
于
，
，若
，
，，均在圆
上，
①求
的值，并求点的横坐标；
②求圆面积的取值范围．
的渐近线为，左顶点为．(1)求双曲线
的方程；(2)直线
交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，①求
的值，并求点的横坐标；②求圆
面积的取值范围．
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3 . 对于分别定义在
，
上的函数，
以及实数
，若存在
，
使得
，则称函数与具有关系
.
(1)若
，
；
，，判断与是否具有关系
，并说明理由；
(2)若
与
具有关系，求的取值范围；
(3)已知
，
为定义在
上的奇函数，且满足：
①在
上，当且仅当
时，取得最大值1；
②对任意
，有
.
判断
与
是否具有关系
，并说明理由.
，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.(1)若
，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；(2)若
与具有关系，求的取值范围；(3)已知
，为定义在上的奇函数，且满足：①在
上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意
，有.判断
与是否具有关系，并说明理由.
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4 . 已知椭圆
的离心率为
，且过点
.过椭圆上的点作圆
的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与
轴分别交于
两点.的方程；
(2)
是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：
(3)若椭圆上点
，求
面积的取值范围.
的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点.
的方程；(2)
是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由：(3)若椭圆上点
，求面积的取值范围.
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5 . 已知动点到点
的距离比到直线
的距离小1，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知点
，过点
作直线与曲线交于
两点，连接
分别交于
两点.
①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
，直线
的斜率为
，试判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求
面积的最小值.
到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的轨迹方程；(2)已知点
，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点.①当直线
的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；②求
面积的最小值.
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解题方法
6 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，使得
的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
在中，内角，，的对边分别为
，
，
.
(1)若
.
①求；
②若的面积为
，设点为的费马点，求
的取值范围；
(2)若内一点满足
，且
平分
，试问是否存在常实数
，使得
，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在
中，内角，，的对边分别为，，.(1)若
.①求
；②若
的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；(2)若
内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
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7 . 已知函数
，
.
(1)若直线
是曲线
在
处的切线，求
的表达式；
(2)若任意
且
，有
恒成立，求符合要求的数对
组成的集合；
(3)当
时，方程
在区间
上恰有1个解，求k的取值范围.
，.(1)若直线
是曲线在处的切线，求的表达式；(2)若任意
且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合；(3)当
时，方程在区间上恰有1个解，求k的取值范围.
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8 . 已知数列
，
，函数
，其中
，
均为实数．
(1)若
，
，
，
，
，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列
的前
项和为
，求证：
．
(2)若
为奇函数，
，
，
且
，问：当
时，是否存在整数
，使得
成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：
，
）
，，函数，其中，均为实数．(1)若
，，，，，（ⅰ）求数列
的通项公式；（ⅱ）设数列
的前项和为，求证：．(2)若
为奇函数，，，且，问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，）
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解题方法
9 . 已知椭圆
的左右焦点分别是
，双曲线的顶点恰好是
、
，且一条渐近线是
．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线
交于，作直线
交于
，求
的最小值．
的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．(1)求
的方程：(2)若
上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
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解题方法
10 . 对于定义在R上的连续函数
，若存在常数t（
），使得
对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数．
(1)试判断函数
是否是一个阶数为
的回旋函数，并说明理由；
(2)若
是回旋函数，求实数ω的值；
(3)若回旋函数
（
）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值．
，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数．(1)试判断函数
是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由；(2)若
是回旋函数，求实数ω的值；(3)若回旋函数
（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值．
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