真题
1 . 已知集合.给定数列,和序列,其中,对数列进行如下变换:将的第项均加1,其余项不变,得到的数列记作;将的第项均加1,其余项不变,得到数列记作;……;以此类推,得到,简记为.
(1)给定数列和序列,写出;
(2)是否存在序列,使得为,若存在,写出一个符合条件的;若不存在,请说明理由;
(3)若数列的各项均为正整数,且为偶数,求证:“存在序列,使得的各项都相等”的充要条件为“”.
(1)给定数列和序列,写出;
(2)是否存在序列,使得为,若存在,写出一个符合条件的;若不存在,请说明理由;
(3)若数列的各项均为正整数,且为偶数,求证:“存在序列,使得的各项都相等”的充要条件为“”.
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2 . 在直角坐标平面内,将函数及在第一象限内的图象分别记作,,点在上.过作平行于轴的直线,与交于点,再过点作平行于轴的直线,与交于点.(1)若,请直接写出的值;
(2)若,求证:是等比数列;
(3)若,求证:.
(2)若,求证:是等比数列;
(3)若,求证:.
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名校
解题方法
3 . 已知双曲线的渐近线为,左顶点为.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线交轴于点,过点的直线交双曲线于,,直线,分别交于,,若,,,均在圆上,
①求的值,并求点的横坐标;
②求圆面积的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线交轴于点,过点的直线交双曲线于,,直线,分别交于,,若,,,均在圆上,
①求的值,并求点的横坐标;
②求圆面积的取值范围.
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解题方法
4 . 已知双曲线的图像经过点,点分别是双曲线的左顶点和右焦点.设过的直线交的右支于两点,其中点在第一象限.(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线分别交直线于两点,证明:为定值;
(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(2)若直线分别交直线于两点,证明:为定值;
(3)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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名校
5 . 对于分别定义在,上的函数,以及实数,若存在,使得,则称函数与具有关系.
(1)若,;,,判断与是否具有关系,并说明理由;
(2)若与具有关系,求的取值范围;
(3)已知,为定义在上的奇函数,且满足:
①在上,当且仅当时,取得最大值1;
②对任意,有.
判断与是否具有关系,并说明理由.
(1)若,;,,判断与是否具有关系,并说明理由;
(2)若与具有关系,求的取值范围;
(3)已知,为定义在上的奇函数,且满足:
①在上,当且仅当时,取得最大值1;
②对任意,有.
判断与是否具有关系,并说明理由.
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解题方法
6 . 设A,B为椭圆C:的短轴端点,P为椭圆上异于A,B的任意一点,D在直线上.
(1)求直线,的斜率的乘积;
(2)证明:;
(3)过右焦点F作x轴的垂线,E为上异于F的任意一点,直线交C于M,N两点,记直线,,的斜率分别为,,,是否存在,,的某个排列,使得这三个数成等差数列?若存在,加以证明;若不存在,请说明理由.
(1)求直线,的斜率的乘积;
(2)证明:;
(3)过右焦点F作x轴的垂线,E为上异于F的任意一点,直线交C于M,N两点,记直线,,的斜率分别为,,,是否存在,,的某个排列,使得这三个数成等差数列?若存在,加以证明;若不存在,请说明理由.
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解题方法
7 . 如果三个互不相同的函数,,在区间上恒有或,则称为与在区间上的“分割函数”.
(1)证明:函数为函数与在上的分割函数;
(2)若函数为函数与在上的“分割函数”,求实数的取值范围;
(3)若,且存在实数,使得函数为函数与在区间上的“分割函数”,求的最大值.
(1)证明:函数为函数与在上的分割函数;
(2)若函数为函数与在上的“分割函数”,求实数的取值范围;
(3)若,且存在实数,使得函数为函数与在区间上的“分割函数”,求的最大值.
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8 . 已知椭圆的离心率为,且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线,其中一条切线与椭圆相交于点,与圆相切于点,两条切线与轴分别交于两点.(1)求椭圆的方程;
(2)是否为定值,若是,请求出的值;若不是,请说明理由:
(3)若椭圆上点,求面积的取值范围.
(2)是否为定值,若是,请求出的值;若不是,请说明理由:
(3)若椭圆上点,求面积的取值范围.
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名校
解题方法
9 . 已知是定义在上的函数,如果存在常数,使得对区间的任意划分:,都有成立,则称是上的“绝对差有界函数”.
(1)分别判断,是否是上的“绝对差有界函数”,若是“绝对差有界函数”,直接写出的最小值(不需证明);若不是“绝对差有界函数”,直接写出函数的值域(不需证明);
(2)对定义在上的,若存在常数,使得对任意的,都有,求证:是上的“绝对差有界函数”;
(3)设是上的“绝对差有界函数”,满足,,且对任意的,都有,求实数的取值范围.
(1)分别判断,是否是上的“绝对差有界函数”,若是“绝对差有界函数”,直接写出的最小值(不需证明);若不是“绝对差有界函数”,直接写出函数的值域(不需证明);
(2)对定义在上的,若存在常数,使得对任意的,都有,求证:是上的“绝对差有界函数”;
(3)设是上的“绝对差有界函数”,满足,,且对任意的,都有,求实数的取值范围.
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10 . 已知动点到点的距离比到直线的距离小1,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)已知点,过点作直线与曲线交于两点,连接分别交于两点.
①当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,直线的斜率为,试判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
②求面积的最小值.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)已知点,过点作直线与曲线交于两点,连接分别交于两点.
①当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,直线的斜率为,试判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
②求面积的最小值.
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