1 . 已知椭圆经过点，焦距为是椭圆上不在坐标轴上的两点，且关于坐标原点对称，设点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线与的斜率分别为，求证：为定值．

2 . 已知椭圆C：（）的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由．

3 . 在区间上，若函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增函数”.已知函数.
(1)判断在区间上是否为“弱增函数”；
(2)设，且，证明：；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

4 . 已知函数为常数）.函数定义如下：对每个给定的实数.
(1)若，求在上的最大值；
(2)若且，求函数在区间上的单调增区间的长度之和.（闭区间的长度定义为）

5 . 设，函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数．

(1)求实数的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．

6 . 对于项数为的有穷数列，若，则称为“数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为，.分别判断、是否为“数列”；（只需给出判断）
(2)已知“数列”的各项互不相同，且，.若也是“数列”，求有穷数列的通项公式；
(3)已知“数列”是的一个排列（即数列中的项不计先后顺序，分别取），且，求的所有可能值.

7 . 在平面直角坐标系中，已知点，点满足．记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知直线，若点关于直线的对称点（与不重合）在上，求实数的值；
(3)设直线的斜率为，且与有两个不同的交点，设，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，若点和点三点共线，求实数的值．

8 . 设数集S满足：①任意，有﹔②对任意x，（x，y可以取相同值），有或，则称数集S具有性质P．
(1)判断数集和是否具有性质P，并说明理由；
(2)若数集且具有性质P．
（i）当时，判断是否一定构成等差数列，说明理由；
（ⅱ）若，数集B中的每个元素均为自然数且，求数集B中所有元素的和的所有可能值．

9 . 已知空间向量列，如果对于任意的正整数，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”．
(1)若是“等比向量列”，为单位向量，求（用表示）；
(2)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，．求．
(3)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求的最大值．

10 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.