1 . 已知数列满足，（其中）
(1)判断并证明数列的单调性；
(2)记数列的前n项和为，证明：．

2 . 设函数.
(1)求的单调区间；
(2)若时，恒成立，求的取值范围.

3 . 已知函数，．
(1)证明不等式：；
(2)是否存在，且，使得？证明你的结论．

4 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：函数有两个零点；
(3)若函数有两个不同的极值点（其中），证明：．

5 . 已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标．

6 . 已知椭圆，点在上，，且
(1)求出直线所过定点的坐标；（不需要证明）
(2)过A点作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

7 . 已知椭圆()与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且，(O为坐标原点)，若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由；
(3)P是椭圆C上异于上顶点，下顶点的任一点，直线，，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

8 . 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且在恒成立，求实数的取值范围.

9 . 已知函数.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，求证：当时，.

10 . 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的顶点坐标；
（Ⅱ）若等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值．