1 . 若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”.
(1)若数列为“稳定数列”，求的取值范围；
(2)若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由；
(3)若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，.

2 . 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.
(1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；
(2)已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值.

3 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)证明：

4 . 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点且斜率存在的直线族，表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)若直线族的包络曲线是圆，求满足的关系式；
(2)若点不在直线族的任意一条直线上，对于给定的实数，求的取值范围和直线族的包络曲线；
(3)在（2）的条件下，过直线上一个动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线距离的最大值.

5 . 在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求.

6 . 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．

(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．

7 . 代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．
如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为．所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为．
(1)在复数集中解方程：；
(2)（i）在复数集中解方程：；
（ii）写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程）；
(3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值．

8 . 设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
(1)若集合，求集合P₁的“耦合集”；
(2)集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．

9 . 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为．

       

(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
(2)若平面三角形ABC为直角三角形，，设．则：
①求证：；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积．

10 . 对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．