2 . 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.

4 . 已知函数．
(1)若函数有3个不同的零点，求a的取值范围；
(2)已知为函数的导函数，在上有极小值0，对于某点，在P点的切线方程为，若对于，都有，则称P为好点．
①求a的值；
②求所有的好点．

5 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.

6 . 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.
(1)当时，求
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.

8 . 我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？

9 . 重庆育才中学学生小王和小李星期天一同返校进入校门，如图所示，背对着校门站在陶行知雕像前点，小李沿着行知大道（正西方向）走27米后到达点.小王以垂直于小李的路线向正南方向行走若干米后到达陶行知纪念馆点，后又沿着南偏西的方向行走到达国旗杆下点，经过测量发现.设，如图所示.

(1)设国旗杆底点到行知大道的最短距离为，请用表示的解析式；
(2)求小王走过的路程的最大值.

10 . 对任意一个三位自然数n，若各个数位上的数字均不为0，则称该自然数为“无零数”.将这个三位“无零数”的各数位上的数字两两组合，形成六个新的两位数，我们将这六个两位数的和，叫做该三位“无零数”的“二位总和”，将所得的“二位总和”除以44，得到的结果记为.例如“352”是一个三位“无零数”，六个新数为35，32，53，52，23，25，则.
（1）________，证明：任意一个满足十位数字等于百位数字与个位数字之和的的三位“无零数”，它的“二位总和”定能被33整除；
（2）若一个“无零数”（其中，，且a，b为整数）的十位数字为8，且满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，求.