1 . 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置，基本不等式就是最简单的平均值不等式.一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为（注：），几何平均值记为亦（注：），算术平均值与几何平均值之间有如下的关系：，即，当且仅当时等号成立，上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式.
(1)已知，求的最小值；
(2)已知正项数列，前n项和为.
（i）当时，求证：；
（ii）求证：.

2 . 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．

3 . 设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.

5 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；
(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；
(3)若，且，求证:.

6 . 若集合的非空子集满足：对任意给定的，若，有，则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记表示集合的元素个数.
(1)求的值；
(2)若是的好子集，且.证明：中元素可以排成一个等差数列；
(3)求的值.

7 . 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用．球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离．

(1)纬度是指某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，赤道为纬线，赤道以北叫做北纬．如图1，将地球看作球体，假设地球半径为，球心为，北纬的纬线所形成的圆设为圆，且是圆的直径，球面被经过球心和点，的平面截得的圆设为圆，求圆中劣弧的长度，并判断其是否是，两点间的球面距离（只需判断、无需证明）．
(2)如图2，点，在球心为的球面上，且不是球的直径，试问，两点间的球面距离所在的圆弧是否与球心共面？若是，写出证明过程，并求出当，时，，两点间球面距离所在的圆弧与球心所形成的扇形的面积；若不是，请说明理由．

8 . 设p为任意给定的大于1的整数，每个正整数n均可以唯一地表示成，，我们将称为n的p进制表示，将称为n在p进制下的数字和．例如：由可知，．
(1)请给出2024的三进制表示；
(2)若，求．

10 . 若函数满足以下三个条件，则称为函数.①定义域为；②对任意，；③对任意正整数，，当时，有.若给定函数某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的如果有种，分别为，，，.

那么我们记等于，，，的最大值.这样得到的称为的最大生成函数.
(1)若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求和的值；
(2)若为函数，且满足，求数列的前10项和；
(3)若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求数列的前项和.