1 . 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.
(1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；
(2)已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值.

2 . 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．于是根据定义若为区间上的下凸函数，则对任意的，有；若为区间上的上凸函数，则对任意的，有．
(1)已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；参考公式：
(2)已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求的取值范围．

3 . 已知集合，对于，，定义与之间的距离为.
(1)若，求所有满足的点所围成的图形的面积;
(2)当时，，并且，求的最大值（用表示);
(3)当时，求集合中任意两个元素之间的距离的和.

4 . 假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表，

			合计
合计

课本中给出统计量计算公式如下：

此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，），
把，，，称为期望频数，记作，
即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和）
根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示：

教学方法\成绩级别	低	中	高	总计
传统方法	20	30	50	100
在线学习	35	45	20	100
互动式学习	25	15	60	100
总计	80	90	130	300

(1)已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率．
(2)（i）求，；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异．
参考数据：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
	7.78	9.49	11.14	13.28	14.86

5 . 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；
(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.

6 . 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列，，定义无穷数列，记作，称为与的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律．

(1)若，，，求，，，；
(2)对，定义如下：①当时，；②当时，为满足通项的数列，即将的每一项向后平移项，前项都取为0．试找到数列，使得；
(3)若，，证明：当时，．

7 . 若函数满足以下三个条件，则称为函数.①定义域为；②对任意，；③对任意正整数，，当时，有.若给定函数某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的如果有种，分别为，，，.

那么我们记等于，，，的最大值.这样得到的称为的最大生成函数.
(1)若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求和的值；
(2)若为函数，且满足，求数列的前10项和；
(3)若为函数，且是在给定条件，下的的最大生成函数，求数列的前项和.

8 . 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”.
(1)判断（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
(3)函数表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

9 . 老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知．

(1)若，求护栏的长度即的周长；
(2)若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求．