1 . 如图所示，已知直角梯形中，，；设（其中），为线段的中点．

(1)当时，若三点共线，求的值；
(2)若的面积为，求的最小值．

2 . 已知函数，其中，为实数且.
(1)当时，根据定义证明在单调递增；
(2)求集合.

3 . 分别根据下列两个实际背景
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)求函数的值域.
背景1：在国内投递外埠平信，每封信不超过付邮资80分，超过不超过付邮资160分，超过不超过付邮资240，依此类推，每的信应付邮资（单位：分）.
背景2：如图所示，在边长为2的正方形的边上有一个动点，从点出发沿折线.移动一周后，回到点.设点移动的路程为，的面积为.
   

4 . 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果.已知两区初始显示的分别是和，如图，第一次按键后，两区分别显示：

(1)从初始状态按2次后，分别求两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.

5 . 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点A是直线上的动点，过点A作于点，点的坐标为，连接.设点A的纵坐标为的面积为

(1)当时，请直接写出点的坐标；
(2)关于的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1､2的信息，求出与的值；
(3)在上是否存在点A，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和的面积；若不存在，请说明理由.

6 . 为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次活动共抽查了__________人.
(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数.
(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.

7 . 已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点.

(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求点的坐标.

8 . 实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平.
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕交于点交于点，再把纸片展平.

问题解决：
(1)如图1，填空：四边形的形状是__________.
(2)如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
(3)如图2，若，求的值.

9 . 如图，点为中点，分别延长到点到点，使.以点为圆心，分别以为半径在上方作两个半圆.点为小半圆上任一点（不与点重合），连接并延长交大半圆于点，连接.

(1)①求证：；
②写出和三者间的数量关系，并说明理由.
(2)若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）.

10 . 用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，.

(1)求与的函数关系式.
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）.设薄板的厚度为（厘米），.
①求与的函数关系式；
②x为何值时，Q是的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围].