1 . 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，E为BC的中点，PC与底面所成的角为                                   

   

(1)求证: BD⊥PC;
(2)求点E到平面BDP的距离.

2 . 已知椭圆的左,右焦点分别为，下顶点为A，点M在直线上.
(1)若，线段AM 的中点在x轴上，求M 的坐标；
(2)若直线l与y轴交于B，直线AM 经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为 ，求b的值;
(3)若，直线 l与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点，，点P到l的距离为d，且，当a变化时，求d的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点.
(1)当时，求曲线K的轨迹方程;
(2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若且直线与直线交于Q点.求证: 为定值：
(3)若且点 D，E在y轴上，的内切圆的方程为求面积的最小值.

4 . 在平面直角坐标系中，圆的半径为，其圆心在射线上，且
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线过点， 且与圆相切，求直线的方程；
(3)自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在的直线与圆相切，求光线所在直线的方程.

5 . 已知数列是首项为23，公差为-4的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求的最大值.

6 . 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

   

(1)若，，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？

7 . 已知表示圆，求实数的值．

8 . 已知函数，，令
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当a为正数且时，，求a的最小值；
(3)若对一切都成立，求a的取值范围.

9 . 已知直线与直线．
(1)若两条直线垂直，求实数a的值；
(2)若两条直线的夹角为，求实数a的值．

10 . 某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为．机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播米）．在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．

(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？