1 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点.

(1)求证：；
(2)是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标；
(2)求直线的方程．

3 . 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

   

(1)求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；
(2)用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率.

4 . 设函数.
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，，，求的最小值和相应的a，b的值.

5 . 已知函数.
(1)求方程的根；
(2)求在上的值域.

6 . 如图（1），六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿进行翻折，得到的图形如图（2）所示，且.

   

(1)求证：平面.
(2)求二面角的余弦值；

7 . 已知等差数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，数列的前项和为，求的取值范围．

8 . 已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.
(1)若，，求；
(2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.

9 . 在锐角△中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求△内切圆半径的取值范围.

10 . 在中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点．
(1)当且P是边BC上的中点时，设与交于点，求线段的长；
(2)设，若，求线段长度的最小值．