1 . 已知关于
的一元二次方程
（1）
时，求证：方程一定有两个实数根.
（2）有甲､乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字
，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为
，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为
，利用列表法或者树状图，求
的值使方程两个相等的实数根的概率.
的一元二次方程（1）
时，求证：方程一定有两个实数根.（2）有甲､乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字
，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，利用列表法或者树状图，求的值使方程两个相等的实数根的概率.
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2021-08-10更新
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146次组卷
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2卷引用：北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一分班考试数学试题
2 . 已知函数
，
.设
.
(1)判断函数
的奇偶性，并证明你的结论；
(2)求的值域.
，.设.(1)判断函数
的奇偶性，并证明你的结论；(2)求
的值域.
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名校
解题方法
3 . 已知数列
是由正整数组成的无穷数列，若存在常数
，使得
，对任意的
成立，则称数列具有性质
．
（1）分别判断下列数列是否具有性质
；（直接写出结论）①
；②
（2）若数列满足
，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件；
（3）已知数列中
，且
．若数列具有性质
，求数列的通项公式．
是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质．（1）分别判断下列数列
是否具有性质；（直接写出结论）①；②（2）若数列
满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件；（3）已知数列
中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式．
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2021-08-26更新
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405次组卷
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4卷引用：2020届北京市海淀区高三一模数学试题
2020届北京市海淀区高三一模数学试题北京市第一七一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）高二数学开学摸底考02（上海专用）（测试范围：必修三+选修一）-2023-2024学年高二数学下学期开学摸底考试卷（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）
名校
解题方法
4 . 已知集合
的元素个数为
且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合
、
、
，即
，
，
，
，其中
，
，
，且满足
，
，
、
、
、
，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合
，
，判断集合和集合
是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合
为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合
，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是
或
.
的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.（1）若集合
，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；（2）已知集合
为“完美集合”，求正整数的值；（3）设集合
，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
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解题方法
5 . 对于任意实数a，b，c，d，表达式
称为二阶行列式（determinant），记作
，
（1）求下列行列式的值：
①
；②
；③
；
（2）求证：向量
与向量
共线的充要条件是
；
（3）讨论关于x，y的二元一次方程组
（
）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.
称为二阶行列式（determinant），记作，（1）求下列行列式的值：
①
；②；③；（2）求证：向量
与向量共线的充要条件是；（3）讨论关于x，y的二元一次方程组
（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.
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名校
解题方法
6 . 已知椭圆
的离心率为
，且椭圆C经过点
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点
的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线
交于点Q，设
，
，求证：
为定值．
的离心率为，且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点
的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．
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2020-11-06更新
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1500次组卷
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7卷引用：北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模数学试题
北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模数学试题（已下线）第九单元 解析几何（B卷 滚动提升检测）-2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷北京市第十四中学2023届高三上学期期中检测数学试题北京市北京师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题北京高二专题01平面解析几何（已下线）专题29 圆锥曲线求定值七种类型大题100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)山东省临沂市第十九中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
名校
7 . 已知数列
的首项
其中
，
， 令集合
.
（1）若
，写出集合中的所有的元素；
（2）若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求
的所有可能取值构成的集合；
（3）求证：
.
的首项其中，， 令集合.（1）若
，写出集合中的所有的元素；（2）若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；（3）求证：
.
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8 . 已知有穷数列
.定义数列的“伴生数列”：
，其中
，规定
（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①
（2）已知数列的“伴生数列”
，且满足
.若数列中存在相邻两项为
，求证：数列中每一项均为.
.定义数列的“伴生数列”：，其中，规定（1）写出下列数列的“伴生数列”：
①
②
（2）已知数列
的“伴生数列”，且满足.若数列中存在相邻两项为，求证：数列中每一项均为.
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2020-11-02更新
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256次组卷
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3卷引用：北京科技大学附属中学2021届高三10月月考数学试题
解题方法
9 . 已知
中，
．
（Ⅰ）求证：是钝角；
（Ⅱ）若同时满足下列四个条件中的三个：
①
；②
；③
；④
．
请指出这三个条件，说明理由，并求出的值．
中，．（Ⅰ）求证：
是钝角；（Ⅱ）若
同时满足下列四个条件中的三个：①
；②；③；④．请指出这三个条件，说明理由，并求出
的值．
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名校
10 . 如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
，点
，
分别在棱
和棱
上，且
，
，
为棱
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值．
中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（Ⅰ）求证：
；（Ⅱ）求证：
平面；（Ⅲ）求二面角
的余弦值．
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2020-10-24更新
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795次组卷
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4卷引用：北京市延庆区2021届高三上学期统测考试数学试题
