1 . 根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：

学生科目
政治		1	1						1		1	1			1		1	1	1
历史					1		1	1				1	1	1	1	1			1	1
地理			1	1		1	1		1			1	1				1		1	1
物理	1	1		1	1	1			1	1	1		1	1	1	1		1
化学	1		1	1			1	1		1	1					1		1
生物	1	1			1	1		1		1				1			1			1

(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；
(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记为“偏文”女生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记随机变量，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）．

2 . 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是边长为2的正方形，分别为的中点.

(1)证明：面
(2)请再从下列三个条件中选择一个补充在题干中，完成题目所给的问题.
①直线与平面所成角的大小为；②三棱锥的体积为；③. 若选择条件___________.
求（i）求二面角的余弦值；
（ii）求直线与平面的距离.

3 . 某企业为解决科技卡脖问题，不断加大科技研发投入，下表为该企业2018年至2022年重大科技项目取得突破的个数：

年份：	2018	2019	2020	2021	2022
重大科技项目 突破数y（单位：个）	2	4	4	7	8

经过相关系数的计算和分析，发现重大科技项目突破个数y与年份x的线性相关程度非常高.请建立y关于x的回归方程，并预测该企业在2024年重大科技项目取得突破的个数.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

4 . 研究表明，在中学阶段阅读的书籍往往能够对学生产生更深刻的影响.因此，提高中学生的课外阅读能力也成为我们在中学教学中极为重要的活动.某校学生共2000人，为了解该校学生的课外阅读情况，随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

组号	分组	频数
1		6
2		8
3		16
4		23
5		25
6		12
7		6
8		2
9		2
合计		100

(1)求频率分布直方图中的a，b的值：
(2)根据频率分布直方图，估计样本的众数和中位数：
(3)为鼓励学生们开展课外阅读，学校决定根据一周课外阅读时间的长短设一、二、三等奖，并为每位同学购买书籍作为奖励，如下表：

阅读时间（单位：小时）	[0，6）	[6，12）	[12，18）
奖项	三等奖	二等奖	一等奖
奖品（单位：本）	1	2	3

用样本估计总体，学校需购置多少本书籍？

5 . 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
(2)在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；
(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）

6 . 用坐标法解答以下问题，如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________.

从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分，
①连接并延长交于点，求证：；
②取上一点，使得，求证：三点共线.

7 . 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：

①直线与平面所成角为45°；
②二面角的余弦值为；
③点到平面的距离为定值；
④线段长度的取值范围是
其中所有正确结论的序号是____________

8 . 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是（       ）
①若，则与所成的角为30°；
②若与所成角为，则；
③若，则平面与所成的锐二面角为60°；
④若平面与所成的角为60°，则

A．③

B．①③

C．②④

D．①③④

9 . 已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（       ）

A．，共线	B．，共线
C．，，共面	D．，，不共面

10 . 设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（       ）
①数列具有单调性；        ②数列有最小值为；
③前n项和S_n有最小值            ④前n项和S_n有最大值

A．0

B．1

C．2

D．3