1 . 已知双曲线：的离心率为，左、右顶点分别为点满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点，直线（为坐标原点）与直线交于点．设直线的斜率分别为，，求证：为定值．

2 . 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.

(1)用表示，并求出；
(2)求证：.

3 . 已知三点．
(1)求证:为等腰直角三角形；
(2)若直线上存在一点P，使得面积与面积相等，求点P的坐标．

4 . （1）已知O是平面ABC外一点，求证：P在平面ABC上的充要条件是“存在实数x，y，z，使，且”；
（2）如图所示，在平行六面体中，，，，，与平面交于点K．设，，．

①用，，表示；
②求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

5 . 在中，.
(1)求证：；
(2)求的长；

6 . 已知平面四边形中，，向量的夹角为.
(1)求证：；
(2)点是线段中点，求的值.

7 . 已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．

10 . 如图，点P是角的终边与单位圆的交点，点Q是角的终边与单位圆的交点，其中．

(1)求PQ；
(2)求证：．