1 . 对于正整数n，
是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如
（
与
互质），则（ ）
是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（与互质），则（ ）A．若n为质数，则 | B．数列 单调递增 |
C．数列 的最大值为1 | D．数列 为等比数列 |
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昨日更新
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233次组卷
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3卷引用：湖北省宜荆荆2024届高三下学期五月高考适应性考试数学试题
湖北省宜荆荆2024届高三下学期五月高考适应性考试数学试题 吉林省通化市梅河口市第五中学2024届高三三模数学试题（已下线）高二数学期末模拟试卷02【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2019选择性必修第二册）
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2 . 意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式
，其中
为悬链线系数，
称为双曲余弦函数，其函数表达式
，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为
．
(1)证明：①
；
②
．
(2)求不等式：
的解集．
(3)已知函数
存在三个零点，求实数
的取值范围．
，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为．(1)证明：①
；②
．(2)求不等式：
的解集．(3)已知函数
存在三个零点，求实数的取值范围．
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解题方法
3 . 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 
，用 
表示不超过
的最大整数，则 
称为高斯函数，例如 
，
. 已知函数 
，函数 
，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）A．函数  不是周期函数； |
B．函数 的值域是  |
C．函数  的图象关于  对称： |
D．方程  只有一个实数根； |
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4 . 在平面直角坐标系中，如果将函数
的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称
为“
旋转函数”.
(1)判断函数
是否为“
旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是“旋转函数”，求
的最大值；
(3)若函数
是“
旋转函数”，求
的取值范围.
的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.(1)判断函数
是否为“旋转函数”，并说明理由；(2)已知函数
是“旋转函数”，求的最大值；(3)若函数
是“旋转函数”，求的取值范围.
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2024-06-12更新
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545次组卷
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2卷引用：浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024届高三第三次联考（三模）数学试题
5 . 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
，
），例如：
，对应
，
，
，
，
，
，
.现对任意
，定义莫比乌斯函数
.
(1)求
，
；
(2)已知
，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为
，
，…，
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）求
的值（用
（）表示）.
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.(1)求
，；(2)已知
，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.（ⅰ）证明：
；（ⅱ）求
的值（用（）表示）.
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6 . 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为
，它与原点的距离是
．我们规定：比值
，
，
分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作
，
，
，即
，
，
，把
，
，
分别叫做余切函数、余割函数、正割函数.
（1）已知
，则的最大值为_______ ；
（2）设
，则
的最小值为________ ．
，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点P的坐标为，它与原点的距离是．我们规定：比值，，分别叫做角的余切、余割、正割，分别记作，，，即，，，把，，分别叫做余切函数、余割函数、正割函数.（1）已知
，则的最大值为（2）设
，则的最小值为
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7 . 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点
，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数
有______ 个不动点．
，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．函数有
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2024-06-03更新
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361次组卷
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2卷引用：黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模联考数学试卷
8 . 设
是函数
的有限实数集，
是定义在上的函数，若的图象绕坐标原点逆时针旋转
后与原图象重合，则在以下各项中，
的取值不可能是（ ）
是函数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ）A． | B． | C． | D． |
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9 . 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，为纪念欧拉的成就，函数就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果
互素，则
.请计算数列
的前项和
______ .
就是以其名字命名的，称为欧拉函数.人教A版新教材选择性必修二第8页指出：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则.请计算数列的前项和
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10 . 阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为
种，可以用全排列
减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：
，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在
处阶可导，则有：
，注
表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出
的值；
(2)估算
的大小（保留小数点后2位），并给出用
和表示的估计公式；
(3)求证：
，其中．
封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：(1)求出
的值；(2)估算
的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；(3)求证：
，其中．
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