1 . 已知函数．
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为，求证;
（i）是一个递减数列
（ii）．

2 . 设对集合上的任意两相异实数，，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.
（1）设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
（2）若在上严格优于，，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
（3）设函数，，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知函数.
（1）指出的单调区间；（不要求证明）
（2）若满足，且，求证：；
（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.

5 . 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.

6 . 柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 设定义在函数满足下列条件：

①对于，总有，且，；

②对于，若，则.

(1)求；
(2)证明：；
(3)证明：当时，.

8 . 已知定义在区间的函数.
(1)证明：函数在上为单调递增函数；
(2)设方程有四个不相等的实根，在上是否存在实数，，使得函数在区间上单调，且的取值范围为？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

9 . 已知函数.
(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若方程有两个实根，，且，求证：.
参考数据：，.